Аналитична функция въпрос

[westony]

Имам проблем със следната задача:
Намерете аналитичната функция [tex]f(z)= u(x,y) = iv(x,y)[/tex] ,за която е дадено
[tex]u(x,y) = x^3 -3xy^2 + 2(e^x sin y +1), f(0) = -2i[/tex]

Притеснява ме това че след дифренцирането по х и по у пак си остават х и у и не знам как да постъпя в тази ситуация!


Благодаря предварително!

[martin.nikolov]

Използваш уравненията на Коши-Риман т.е. [tex]u_x=v_y[/tex] и [tex]u_y=-v_x[/tex]. Имаш, че

[tex]u_x=3x^2-3y^2+2e^x\sin(x)[/tex] и [tex]u_y=-6xy-2e^x\cos(x)[/tex]

От първото уравнение на Коши-Риман следва

[tex]v_y=3x^2-3y^2+2e^x\sin(x)[/tex]

Интегрираш по игрек, при фиксирано хикс

[tex]v(x,y)=3x^2y-y^3-2e^x\cos(y)+C(x)[/tex], константата може да зависи от хикс защото сме интегрирали по игрек. За да я намерим изпозваме второто уравнение.

[tex]-v_x=-6xy+2e^x\cos(y)+C'(x)=-6xy-2e^x\cos(x)[/tex] от което следва [tex]C(x)=const[/tex]. За да я намерим изпозваме дадената стойност на [tex]f(0)=-2i[/tex].

[westony]

Здравей, благодаря за отговора, но все пак не разбрах частта: "Интегрираш по игрек, при фиксирано хикс"

ЕДИТ: Един вид дори да имам и х и у в подинтегралната функция да не ме плаши карам си на там както си е по план. Не извършвам никакви допълнителни действия/изчисления когато след диференцирането по х или у не се оттървавам от едното от двете. Защото в примерните задачи които съм решавал след деференцирането по х или у винаги едното се маха и интеграм по това което остане!?

[martin.nikolov]

Означава, че интегрираш по едната променлива, а другата я сматаш за констата, докато интегрираш. В горния пример сме фиксирали хикс и интегрираме по игрек. Да, не трябва да те притесява, че ги има и двете. На втората стъпка, където търсиш С(х), тогва всичи игреци трябва да изчезнат. Ако не, тогава няма такава аналитична фунция.

[westony]

Vx не трябва ли да е равно на [tex]Vx = -(-6xy^2 + 2e^x cos(y)) = 6xy^2 - 2e^x cos(y)[/tex]???

[martin.nikolov]

[tex]v_x=-u_y=-(-6xy-2e^x\cos(y))[/tex] Сега видях, че съм писал синус и косинус от хикс, а трябва да е от игрек.

[westony]

ок след като сме намерили Vx и Vy ги приравняваме и определяме отделните функции C(x), C(y), C(x,y) и след това сглобяваме v(x,y) можеш ли да кажеш какъв резултат имаш там ??? Защото моите изчисления не ми харесват и ме кара да мисля че допускам някъде някаква грешка дето не разбирам ....

[martin.nikolov]

Не, не е така. Избираш си или Vx или Vy, но само едната. Наример Vx, за да намериш V интегрираш по хикс, но се получава неизвестна фунция на игрек, защото си интегрирал по хикс. За да намериш нея, диференцираш това което туко що си намерил по игкрек и го сравняваш с по горения израз за Vy. От тук намираш тази неизвестна фунция.

[westony]

Не, не е така. Избираш си или Vx или Vy, но само едната. Наример Vx, за да намериш V интегрираш по хикс, но се получава неизвестна фунция на игрек, защото си интегрирал по хикс. За да намериш нея, диференцираш това което туко що си намерил по игкрек и го сравняваш с по горения израз за Vy. От тук намираш тази неизвестна фунция.

Демек резулата от първия интеграл го диференцираме по у и след това да интегрираме по х ? правилно ли разбирам ?