интеграл с ъс субституция??

[bengi]

∫tan^4 x dx=

Може ли малко помощ?.. опитах се да го направя така : ∫sin^4x/ cos^4 x.dx = ∫sin^4x/ (1- sin^2 x)^2.dx=
и да положа t=sinx ..но пак нещо се обърква и не стигам го отговора . Отговора в учебника е :tang^3x/3- tangx +C

[stflyfisher]

∫tan^4 x dx=

Може ли малко помощ?.. опитах се да го направя така : ∫sin^4x/ cos^4 x.dx = ∫sin^4x/ (1- sin^2 x)^2.dx=
и да положа t=sinx ..но пак нещо се обърква и не стигам го отговора . Отговора в учебника е :tang^3x/3- tangx +C

[tex]\int tg^4xdx=\int \frac{sin^4x}{cos^4x}dx=\int \frac{sin^4x}{cos^2x}.\frac{1}{cos^2x}dx=[/tex]

[tex]=\int \frac{sin^4x}{cos^2x}.(tgx)'dx=\int \frac{(sin^2x).sin^2x}{cos^2x}d( tg x)=\int tg^2x.sin^2xd (tg x)=[/tex]

[tex]=\int tg^2x(1-cos^2x)d (tg x)=\int tg^2x(1-\frac{1}{1+tg^2x})d( tg x)=\int (tg^2x-\frac{tg^2x}{1+tg^2x})d (tg x)=\int tg^2xd(tgx)-\int \frac{tg^2x}{1+tg^2x}d (tg x)=[/tex]

[tex]=\frac{tg^3x}{3}-\int \frac{1+tg^2x-1}{1+tg^2x}d (tg x)=\frac{tg^3x}{3}-[\int \frac{1+tg^2x}{1+tg^2x}d (tg x)-\int \frac{1}{1+tg^2x}d (tg x)]=\frac{tg^3x}{3}-\int \frac{1+tg^2x}{1+tg^2x}d (tg x)+\int \frac{1}{1+tg^2x}d (tg x)=[/tex]

[tex]=\frac{tg^3x}{3}-\int d (tg x)+\int \frac{1}{1+tg^2x}d (tg x)=\frac{tg^3x}{3}-tg x+arctg(tgx)+C=\frac{tg^3x}{3}-tg x+x+C[/tex]