Точка на сгъстяване

[barut88]

Някой би ли ми обяснил как се намира точка на сгъстяване на дадена редица, понеже не намирам никъде информация, а пък наближава изпита ми. Ще бъда благодарен ако някой съумее да ми помогне.

[martin.nikolov]

Какво точно очакваш? Общ метод, който да решава всяка такава задача!

[barut88]

Ами търся някакъв метод, който да може да решава условието от втора задача (4-та задача) в ето този линк:

http://www.fmi.uni-sofia.bg/Members/bab ... 1-f-08.pdf

[stflyfisher]

[tex]\{[(\frac{n+2}{n}).sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty=\{(\frac{n+2}{n})^n .[sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty[/tex]

1.)[tex]\lim_{n \to \infty }(\frac{n+2}{n})^n=\lim_{n \to \infty }(1+\frac{2}{n})^n=\lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{\frac{n}{2}})^{(\frac{n}{2}).2}=[\lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{\frac{n}{2}})^{(\frac{n}{2})}]^2=e^2[/tex],

защото при [tex]n \to \infty => \frac{n}{2} \to \infty[/tex]

т.е. [tex]\{(\frac{n+2}{n})^n\}_1^\infty[/tex] е сходяща и нейната граница е: [tex]e^2[/tex]

2.) [tex]\{sin(\frac{n-1}{4} \pi)\}_1^\infty[/tex] е ограничена редица при [tex]n \to \infty[/tex] и по точно:

[tex]-1\le sin(\frac{n-1}{4} \pi)\le 1, \forall n \in N=>[/tex]

[tex]-1 \le [sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n \le 1, \forall n \in N[/tex]

т.е [tex]\{[sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty[/tex] е ограничена редица при [tex]n \to \infty[/tex]

Следва продължение....

[barut88]

Благодаря, макар и за непълното решение вече знам, в каква насока да мисля.

[stflyfisher]

[tex]\{[(\frac{n+2}{n}).sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty=\{(\frac{n+2}{n})^n .[sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty=>[/tex] е ограничена редица.

От тук(стр.3):

От:

"Точката ξ e точка на сгъстяване на [tex]\{a_n\}_1^\infty[/tex] тогава и само тогава, когато съществува подредица [tex]\{a_{n_k} \}_1^\infty[/tex] с граница ξ."

и Теремата на Болцано-Вайерщрас: "От всяка ограничена редидица може да се избере сходяща подредица"

[tex]\{[(\frac{n+2}{n}).sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty=\{(\frac{n+2}{n})^n .[sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty[/tex]

Нека [tex]n-1=4k+r, k \in N, r=-1,0,1,2=>[/tex]

[tex]n=4k+r_1,k \in N, r_1=0,1,2,3[/tex]

Избираме подредица на дадената такава, че:

1.) [tex]r=-1[/tex]

[tex]n-1=4k-1;n=4k,k \in N[/tex]=>[tex]n-[/tex] четно число

[tex]\{[sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty =\{[sin(\frac{4k-1}{4} \pi)]^{4k}\}_1^\infty =[/tex]

[tex]=\{[sin(k.\pi-\frac{\pi}{4} )]^{4k}\}_1^\infty=\{[sin(-(\frac{\pi}{4}-k.\pi ))]^{4k}\}_1^\infty=[/tex]

[tex]=\{[-sin(\frac{\pi}{4}-k.\pi )]^{4k}\}_1^\infty=\{[sin(\frac{\pi}{4}-k.\pi )]^{4k}\}_1^\infty[/tex]

a.) При [tex]k=2p, p \in N=>k[/tex]-четно число=>

[tex]sin(\frac{\pi}{4}-k.\pi )=sin(\frac{\pi}{4} )=\frac{\sqrt{2}}{2}=>[/tex]

[tex][sin(\frac{\pi}{4}-k.\pi )]^2=[\frac{\sqrt{2}}{2}]^2=\frac{1}{2}[/tex]

б.) При [tex]k=2p+1, p \in N=>k[/tex]-нечетно число=>

[tex]sin(\frac{\pi}{4}-k.\pi )=-sin(\frac{\pi}{4} )=-\frac{\sqrt{2}}{2}=>[/tex]

[tex][sin(\frac{\pi}{4}-k.\pi )]^2=[-\frac{\sqrt{2}}{2}]^2=\frac{1}{2}[/tex]

От а.) и б.)=>

[tex]\lim_{k \to \infty }[sin(\frac{\pi}{4}-k.\pi )]^{4k}=\lim_{k \to \infty }\{[sin(\frac{\pi}{4}-k.\pi )]^{2}\}^{2k}=0=>[/tex]

[tex]\lim_{n_{r} \to \infty }\{(\frac{n_{r}+2}{n_{r}})^{n_{r}} .[sin(\frac{n_{r}-1}{4} \pi)]^{n_{r}}=e^2.0=0=>[/tex]

ξ[tex]=0[/tex] e точка на сгъстяване на редицата: [tex]\{[(\frac{n+2}{n}).sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty[/tex]

Следва продължение...

[stflyfisher]

2.) [tex]r=0[/tex]

[tex]n-1=4k+0=4k;n=4k+1,k \in N[/tex]=>[tex]n-[/tex] нечетно число

[tex]\{[sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty =\{[sin(\frac{4k}{4} \pi)]^{4k+1}\}_1^\infty =[/tex]

[tex]\{[sin(k \pi)]^{4k+1}\}_1^\infty =\{[0]^{4k+1}\}_1^\infty=\{0\}_1^\infty=>[/tex]


[tex]\lim_{n_{r} \to \infty }\{(\frac{n_{r}+2}{n_{r}})^{n_{r}} .[sin(\frac{n_{r}-1}{4} \pi)]^{n_{r}}\}=\lim_{n_{r} \to \infty }\{(\frac{n_{r}+2}{n_{r}})^{n_{r}} .0\}=e^2.0=0=>[/tex]

ξ[tex]=0[/tex] e точка на сгъстяване на редицата: [tex]\{[(\frac{n+2}{n}).sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty[/tex]

Следва продължение...

[stflyfisher]

3.) [tex]r=1[/tex]

[tex]n-1=4k+1=>n=4k+2=2(2k+1)[/tex], [tex]n-[/tex] четно число

[tex]\{[sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty =\{[sin(\frac{4k+1}{4} \pi)]^{4k+2}\}_1^\infty =[/tex]

[tex]=\{[(sin(k.\pi+\frac{\pi}{4} ))^{2}]^{(2k+1)}\}_1^\infty=\{[(sin(\frac{\pi}{4}+k \pi ))^{2}]^{(2k+1)}\}_1^\infty[/tex]

a.) При [tex]k=2p, p \in N=>k[/tex]-четно число=>

[tex]sin(\frac{\pi}{4}+k.\pi )=sin(\frac{\pi}{4} )=\frac{\sqrt{2}}{2}=>[/tex]

[tex][sin(\frac{\pi}{4}+_k.\pi )]^2=[\frac{\sqrt{2}}{2}]^2=\frac{1}{2}[/tex]

б.) При [tex]k=2p+1, p \in N=>k[/tex]-нечетно число=>

[tex]sin(\frac{\pi}{4}+k.\pi )=-sin(\frac{\pi}{4} )=-\frac{\sqrt{2}}{2}=>[/tex]

[tex][sin(\frac{\pi}{4}+k.\pi )]^2=[-\frac{\sqrt{2}}{2}]^2=\frac{1}{2}[/tex]

От а.) и б.)=>

[tex]\lim_{k \to \infty }[sin(\frac{\pi}{4}+k.\pi )]^{4k}=\lim_{k \to \infty }\{[sin(\frac{\pi}{4}+k.\pi )]^{2}\}^{2k}=0=>[/tex]

[tex]\lim_{n_{r} \to \infty }\{(\frac{n_{r}+2}{n_{r}})^{n_{r}} .[sin(\frac{n_{r}-1}{4} \pi)]^{n_{r}}\}=e^2.0=0=>[/tex]

ξ[tex]=0[/tex] e точка на сгъстяване на редицата: [tex]\{[(\frac{n+2}{n}).sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty[/tex]

Следва продължение...

[stflyfisher]

4.) [tex]r=2, k \in N[/tex]

[tex]n-1=4k+2=2(2k+1)=>n=4k+3=[/tex], [tex]n-[/tex] нечетно число

[tex]\{[sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty =\{[sin(\frac{4k+2}{4} \pi)]^{4k+3}\}_1^\infty =[/tex]

[tex]=\{[sin(\frac{2(2k+1)}{4} \pi)]^{(4k+3)}\}_1^\infty=\{[sin(\frac{2k+1}{2} \pi)]^{(4k+3)}\}_1^\infty=[/tex]

[tex]=\{(sin(k.\pi+\frac{\pi}{2} )]^{(4k+3)}\}_1^\infty=\{[sin(\frac{\pi}{2}+k \pi )]^{(4k+3)}\}_1^\infty[/tex]

Следва продължение на 4.)

[stflyfisher]

a.) При [tex]k=2p, p \in N=>k[/tex]-четно число=>

[tex]sin(\frac{\pi}{2}+k.\pi )=sin(\frac{\pi}{2}+2p.\pi )=sin(\frac{\pi}{2} )=1=>[/tex]

[tex][sin(\frac{\pi}{2}+k.\pi )]^{4k+3}=[sin(\frac{\pi}{2}+2p.\pi )]^{4.2p+3}=[1]^{4.2p+3}=1=>[/tex]


[tex]\{[sin(\frac{\pi}{2}+2p.\pi )]^{(4.2p+3)}\}_1^\infty =\{[1]^{(4.2p+3)}\}_1^\infty =\{1\}_1^\infty=>[/tex]

[tex]\lim_{p \to \infty }[sin(\frac{\pi}{2}+2p.\pi )]^{4.2p+3}=\lim_{p \to \infty }[1]^{4.2p+3}=1=>[/tex]

При [tex]r=2, k=2p =>[/tex]

[tex]n=4.2p+3,n,k,p \in N=>[/tex]

[tex]\lim_{n_{(r,p)} \to \infty }\{\{\frac{n_{(r,p)}+2}{n_{(r,p)}}\}^{n_{(r,p)}} .\{sin(\frac{n_{(r,p)}}-1}{4} \pi)\}^{n_{(r,p)}\}=e^2.1=e^2[/tex], но

при така фиксираните [tex]r=2, k,p \in N[/tex] сходящата редица с граница [tex]e^2[/tex]:

[tex]\{\{\frac{n_{(r,p)}+2}{n_{(r,p)}}\}^{n_{(r,p)}} .\{sin(\frac{n_{(r,p)}-1}{4} \pi)\}^{n_{(r,p)}}\}_1^\infty[/tex]

е подредица на:

[tex]\{[(\frac{n+2}{n}).sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty=>[/tex]


ξ [tex]=e^2[/tex] e точка на сгъстяване на редицата: [tex]\{[(\frac{n+2}{n}).sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty[/tex]


Следва продължение на 4.)...

[stflyfisher]

б.) При [tex]k=2p+1, p \in N=>k[/tex]-нечетно число,

[tex]n=4k+3=4(2p+1)+3=2(8p+3)+1,n-[/tex] нечетно число=>

[tex]sin(\frac{\pi}{2}+k.\pi )=sin(\frac{\pi}{2}+(2p+1).\pi )=sin(\frac{\pi}{2} )=-1=>[/tex]

[tex][sin(\frac{\pi}{2}+k.\pi )]^{4k+3}=[sin(\frac{\pi}{2}+(2p+1).\pi )]^{2.(4p+3)+1}=[-1]^{2.(4p+3)+1}=-1=>[/tex]


[tex]\{[sin(\frac{\pi}{2}+(2p+1).\pi )]^{(2(4p+3)+1)}\}_1^\infty =\{[-1]^{(2(4p+3)+1)}\}_1^\infty =\{-1\}_1^\infty=>[/tex]

[tex]\lim_{p \to \infty }[sin(\frac{\pi}{2}+(2p+1).\pi )]^{4.2p+3}=\lim_{p \to \infty }[-1]^{2.(4p+3)+1}=-1=>[/tex]

При [tex]r=2, k=2p+1 =>[/tex]

[tex]n=2.(4p+3)+1,n,k,p \in N=>[/tex]

[tex]\lim_{n_{(r,p)} \to \infty }\{\{\frac{n_{(r,p)}+2}{n_{(r,p)}}\}^{n_{(r,p)}} .\{sin(\frac{n_{(r,p)}-1}{4} \pi)\}^{n_{(r,p)}}\}=e^2.(-1)=-e^2[/tex],

но при така фиксираните [tex]r=2, k,p \in N[/tex] сходящата редица с граница [tex]-e^2[/tex]:

[tex]\{\{\frac{n_{(r,p)}+2}{n_{(r,p)}}\}^{n_{(r,p)}} .\{sin(\frac{n_{(r,p)}-1}{4} \pi)\}^{n_{(r,p)}}\}_1^\infty[/tex]

е подредица на:

[tex]\{[(\frac{n+2}{n}).sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty=>[/tex]


ξ [tex]= -e^2[/tex] e точка на сгъстяване на редицата: [tex]\{[(\frac{n+2}{n}).sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty[/tex]

[stflyfisher]

Окончателно:

Редицата:

[tex]\{[(\frac{n+2}{n}).sin(\frac{n-1}{4} \pi)]^n\}_1^\infty[/tex]

има три точки на сгъстяване:

[tex]\xi_1=0[/tex]

[tex]\xi_2=e^2[/tex]

[tex]\xi_3=-e^2[/tex]

п.п. Приемам забележки по решението на задачата

[exp]

Ще се уплаши човека от това решение. Задачката се решава на няколко реда.
Тъй като редицата може да се разглежда, като произведение на 2 редици, едната от които е сходяща, то е достатъчно да намерим точките на сгъстяване само на редицата [tex]\left(\sin{\frac{n-1}{4}\pi}\right)^n[/tex]. Тъй като синуса е ограничен по модул от единицата, очевидно можем да изберем сходящи подредици които клонят към 1 и -1. За всички естествени числа n, за които синуса е строго по малък от единица, редицата клони към нула. Така точките на сгъстяване са -1, 0, 1.
Ето как да посочим едни такива сходящи подредици.
Забелязваме, че [tex]sin{\frac{n-1}{4}\pi}=sin{\frac{n-1}{2}\frac{\pi}{2}}[/tex].
Така, за [tex]\frac{n-1}{2}=2k+1[/tex] т.е. [tex]n=4k+3[/tex] имаме

[tex]\left(\sin{\frac{n-1}{4}\pi}\right)^n=[(-1)^{k}]^{4k+3}=1,[/tex]
стига да имаме k=2p което дава n=8p+3.

Ако k=2p-1 имаме n=8p-1 и тогава

[tex]\left(\sin{\frac{n-1}{4}\pi}\right)^n=(-1)^{8p-1}=-1[/tex].

[stflyfisher]

Ще се уплаши човека от това решение. Задачката се решава на няколко реда.
Тъй като редицата може да се разглежда, като произведение на 2 редици, едната от които е сходяща, то е достатъчно да намерим точките на сгъстяване само на редицата [tex]\left(\sin{\frac{n-1}{4}\pi}\right)^n[/tex]. Тъй като синуса е ограничен по модул от единицата, очевидно можем да изберем сходящи подредици които клонят към 1 и -1. За всички естествени числа n, за които синуса е строго по малък от единица, редицата клони към нула. Така точките на сгъстяване са -1, 0, 1.
Ето как да посочим едни такива сходящи подредици.
Забелязваме, че [tex]sin{\frac{n-1}{4}\pi}=sin{\frac{n-1}{2}\frac{\pi}{2}}[/tex].
Така, за [tex]\frac{n-1}{2}=2k+1[/tex] т.е. [tex]n=4k+3[/tex] имаме

[tex]\left(\sin{\frac{n-1}{4}\pi}\right)^n=[(-1)^{k}]^{4k+3}=1,[/tex]
стига да имаме k=2p което дава n=8p+3.

Ако k=2p-1 имаме n=8p-1 и тогава

[tex]\left(\sin{\frac{n-1}{4}\pi}\right)^n=(-1)^{8p-1}=-1[/tex].

Това не е ли същото, което съм написал по-горе и то маскимално подробно. Звучи ми като разказ като в час по литература. Спирам с коментарите по тази тема.

[exp]

Ами всъщност е същото да, само не разбирам, защо нещо толкова простичко трябва да се изписва с 10 километрични постинга, с объркващи и неясни означения, като може да се изкаже с няколко думи и да се запише на няколко реда. До колкото си спомням, малко по горе пишеше, че се приемат коментари по решението. Чудно какво ли щеше да напишеш ако редицате беше [tex]\{\left(\frac{n+2}{n}\right)^n\sin(\frac{n-1}{4})\}_{n=1}^{\infty}[/tex]?