Интеграл с 3та степен в знаменател

[chazz]

Здравейте, имам нужда от помощ или по скоро решение на един интеграл
[tex]\int_{}^{ }\frac{1}{(x^2+9)^3 }dx[/tex]
че само той ми остана да реша от курсовата ми

ПП:Извинявам се за двойната тема сега се усетих че съм объркал раздела
ето ми предишната тема , ако може да я изтрият модераторите viewtopic.php?f=7&t=4720

[stflyfisher]

Хм, "Интеграла на 14 000 студента" . Интересен интеграл, но сега нямам време. Ще го реша малко по-късно.

[chazz]

ще бъда много благодарен ако го решиш че само той ме дели от заверката

[stflyfisher]

Здравейте, имам нужда от помощ или по скоро решение на един интеграл
[tex]\int_{}^{ }\frac{1}{(x^2+9)^3 }dx[/tex]
че само той ми остана да реша от курсовата ми

ПП:Извинявам се за двойната тема сега се усетих че съм объркал раздела
ето ми предишната тема , ако може да я изтрият модераторите viewtopic.php?f=7&t=4720

[tex]I=\int \frac{1}{(x^2+9)^3 }dx= \frac{1}{9} \int \frac{9}{(x^2+9)^3 }dx=\frac{1}{9} \int \frac{x^2+9-x^2}{(x^2+9)^3 }dx=[/tex]

[tex]=\frac{1}{9} [\int \frac{x^2+9}{(x^2+9)^3}dx- \int \frac{x^2}{(x^2+9)^3 }dx]=\frac{1}{9} [\int \frac{1}{(x^2+9)^2}dx-\int \frac{x^2}{(x^2+9)^3 }dx]=\frac{1}{9}[A-B]=>[/tex]

[tex]I=\frac{1}{9}[A-B][/tex]

[tex]A= \int \frac{1}{(x^2+9)^2}dx=\frac{1}{9} \int \frac{9}{(x^2+9)^2}dx=\frac{1}{9} \int \frac{x^2+9-x^2}{(x^2+9)^2}dx=\frac{1}{9} [\int \frac{x^2+9}{(x^2+9)^2}dx- \int \frac{x^2}{(x^2+9)^2}dx]=[/tex]

[tex]=\frac{1}{9} [\int \frac{1}{x^2+9}dx- \int \frac{x^2}{(x^2+9)^2}dx=\frac{1}{9}[D-F]=>[/tex]

[tex]A= \frac{1}{9}[D-F][/tex]

[tex]D=\int \frac{1}{x^2+9}dx= \int \frac{1}{ 9[ \frac{x^2}{9} +1]}dx=\frac{1}{9} \int \frac{1}{ ( \frac{x}{3} )^2+1}dx=\frac{1}{3} \int \frac{1}{ ( \frac{x}{3} )^2+1}d (\frac{x}{3})=\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3}+C=>[/tex]

[tex]D=\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3}+C[/tex]

[tex]F=\int \frac{x^2}{(x^2+9)^2 }dx=\int \frac{x.x}{(x^2+9)^2 }dx=\frac{1}{2}\int \frac{x}{(x^2+9)^2 }d(x^2)=\frac{1}{2}\int \frac{x}{(x^2+9)^2 }d(x^2+9)=-\frac{1}{2}\int xd(x^2+9)^{-1}=[/tex]

[tex]=-\frac{1}{2}[ x(x^2+9)^{-1}-\int (x^2+9)^{-1}dx=-\frac{1}{2}[ \frac{x}{x^2+9}-\int \frac{1}{x^2+9}dx=-\frac{1}{2}[ \frac{x}{x^2+9}-D]=-\frac{1}{2}[ \frac{x}{x^2+9}-\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3}]+C=>[/tex]

[tex]F=-\frac{1}{2}[ \frac{x}{x^2+9}-\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3}]+C[/tex]


Остава да се реши [tex]B[/tex]

Следва продължение...

[stflyfisher]

[tex]B=\int \frac{x^2}{(x^2+9)^3 }dx=\int \frac{x.x}{(x^2+9)^3 }dx=\frac{1}{2}\int \frac{x}{(x^2+9)^3 }d(x^2)=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2}\int \frac{x}{(x^2+9)^3 }d(x^2+9)=\frac{1}{2}.(\frac{1}{-2})\int \frac{x}{(x^2+9)^3 }d(x^2+9)^{-2}=- \frac{1}{4}[x(x^2+9)^{-2}-\int (x^2+9)^{-2}dx]=[/tex]

[tex]=- \frac{1}{4}[\frac{x}{(x^2+9)^{2}}-\int \frac{1}{(x^2+9)^{2}}dx]=- \frac{1}{4}[\frac{x}{(x^2+9)^{2}}-G]=>[/tex]

[tex]B=- \frac{1}{4}[\frac{x}{(x^2+9)^{2}}-G][/tex]

[tex]G=\int \frac{1}{(x^2+9)^{2}}dx=\frac{1}{9}\int \frac{9}{(x^2+9)^{2}}dx=\int \frac{x^2+9-x^2}{(x^2+9)^{2}}dx=\frac{1}{9}[\int \frac{x^2+9}{(x^2+9)^{2}}dx-\int \frac{x^2}{(x^2+9)^{2}}dx]=[/tex]

[tex]=\frac{1}{9}[\int \frac{1}{x^2+9}dx-\int \frac{x.x}{(x^2+9)^{2}}dx]=\frac{1}{9}[D-\frac{1}{2}\int \frac{x}{(x^2+9)^{2}}d(x^2)]=\frac{1}{9}[\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3}-\frac{1}{2}\int \frac{x}{(x^2+9)^{2}}d(x^2+9)][/tex]

[tex]=\frac{1}{9}[\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3}+\frac{1}{2}\int xd(x^2+9)^{-1}]=\frac{1}{9}[\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3}+\frac{1}{2}E][/tex]

[tex]G=\frac{1}{9}[\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3}+\frac{1}{2}E][/tex]

[tex]E=\int xd(x^2+9)^{-1}= x(x^2+9)^{-1}-\int (x^2+9)^{-1}dx=\frac{x}{x^2+9}-\int \frac{1}{x^2+9}dx=\frac{x}{x^2+9}-D=\frac{x}{x^2+9}-\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3}+C[/tex]

Остава само да се замести в [tex]I[/tex]

[stflyfisher]

Обобщение на написаното по-горе.

Интеграл от вида:

[tex]J_n=\int \frac{1}{(x^2+a)^n}dx[/tex] , където [tex]n \in N, n \ge 2, a\ne 0[/tex]

се решава:


[tex]J_n=\int \frac{1}{(x^2+a)^n}dx=\frac{1}{a}\int \frac{a}{(x^2+a)^n}dx=\frac{1}{a}\int \frac{x^2+a-x^2}{(x^2+a)^n}dx=\frac{1}{a}\int \frac{x^2+a}{(x^2+a)^n}dx-\frac{1}{a}\int \frac{x^2}{(x^2+a)^n}dx=[/tex]

[tex]=\frac{1}{a}\int \frac{1}{(x^2+a)^{n-1}}dx-\frac{1}{a}\int \frac{x^2}{(x^2+a)^{n}}dx=[/tex]

[tex]=\frac{1}{a}J_{n-1}-\frac{1}{a} \int \frac{x^2}{(x^2+a)^n}dx=\frac{1}{a}J_{n-1}-\frac{1}{a}I_n=>[/tex]



[tex]J_n=\frac{1}{a}J_{n-1}-\frac{1}{a}I_n[/tex],


където [tex]I_n=\int \frac{x^2}{(x^2+a)^{n}}dx[/tex]



[tex]I_n=\int \frac{x^2}{(x^2+a)^{n}}dx=\int \frac{x.x}{(x^2+a)^{n}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{x}{(x^2+a)^{n}}d(x^2)=\frac{1}{2}\int \frac{x}{(x^2+a)^{n}}d(x^2+a)=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2}\int x(x^2+a)^{-n}d(x^2+9)=\frac{1}{2}.\frac{1}{(-n+1)}\int xd(x^2+a)^{-n+1}=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2(1-n)}[x(x^2+a)^{-n+1}-\int (x^2+a)^{-n+1}dx=\frac{1}{2(1-n)}[\frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}-\int \frac{1}{(x^2+a)^{n-1}}dx]=>[/tex]

[tex]I_n=\frac{1}{2(1-n)}[\frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}-\int \frac{1}{(x^2+a)^{n-1}}dx][/tex],

но

[tex]\int \frac{1}{(x^2+a)^{n-1}}dx=J_{n-1}=>[/tex]


[tex]I_n=\frac{1}{2(1-n)}[\frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}-J_{n-1}]=>[/tex]


[tex]J_n=\frac{1}{a}J_{n-1}-\frac{1}{a}I_n=\frac{1}{a}J_{n-1}-\frac{1}{a}.\frac{1}{2(1-n)}[\frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}-J_{n-1}]=\frac{1}{a}J_{n-1}-\frac{1}{2a(1-n)}[\frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}-J_{n-1}]=[/tex]

[tex]=\frac{1}{a}J_{n-1}-\frac{1}{2a(1-n)}.\frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}+\frac{1}{2a(1-n)}J_{n-1}=[/tex]

[tex]=\frac{1}{a}J_{n-1}+\frac{1}{2a(n-1)}.\frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}+\frac{1}{2a(n-1)}J_{n-1}=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2a(n-1)}.\frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a(n-1)}J_{n-1}=>[/tex]

[tex]J_n= \frac{1}{2a(n-1)}.\frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a(n-1)}J_{n-1}[/tex],

при [tex]n=2,3,....[/tex]

[stflyfisher]

При

[tex]n=1, a>0[/tex]

[tex]J_1=\int \frac{1}{x^2+a}dx=\frac{1}{a} \int \frac{1}{(\frac{x}{\sqrt{a}})^2+1}dx=\frac{1}{\sqrt{a}} \int \frac{1}{(\frac{x}{\sqrt{a}})^2+1}d(\frac{x}{\sqrt{a}})=[/tex]

[tex]= \frac{1}{\sqrt{a}} arctg \frac{x}{\sqrt{a}}+C=>[/tex]

[tex]J_1=\frac{1}{\sqrt{a}} arctg \frac{x}{\sqrt{a}}+C[/tex]

При

[tex]n=1, a<0=>-a>0[/tex]

[tex]J_1=\int \frac{1}{x^2+a}dx=-\frac{1}{a}\int \frac{1}{(\frac{x}{sqrt{-a}})^2-1}dx=[/tex]

[tex]=\frac{1}{\sqrt{-a}}\int \frac{1}{(\frac{x}{sqrt{-a}})^2-1}d(\frac{x}{\sqrt{-a}})=\frac{1}{2.\sqrt{-a}}ln|\frac{ \frac{x}{\sqrt{-a}}-1}{\frac{x}{\sqrt{-a}}+1}|+C[/tex]


[tex]J_1=\frac{1}{2.\sqrt{-a}}ln |\frac{ \frac{x}{\sqrt{-a}}-1}{\frac{x}{\sqrt{-a}}+1}|+C[/tex]

[chazz]

Едно огрооомно Благодаря за решението