Неопрелен интеграл

[the_arrow]

Здравейте! Бих искал да знам как се решават интеграли от следния тип:
интеграл от {dx : (k sinx + l cosx + m)}

където k, l и m са реални числа.

[mkmarinov]

[tex]ksinx+lcosx = \sqrt{k^2+l^2}sin(x+\alpha)[/tex], където [tex]sin\alpha = \frac{l}{\sqrt{k^2+l^2}}[/tex]
[tex]...=\int \frac{d(x+\alpha)}{\sqrt{k^2+l^2}sin(x+\alpha)+m}[/tex]. След смяна на променливи за по-лесен запис [tex]x + \alpha = u; \sqrt{k^2+l^2}=c[/tex].
[tex]...=\int \frac{du}{c sinu+m}[/tex]
Което не решава проблема ти, но го опростява.

[stflyfisher]

[tex]ksinx+lcosx = \sqrt{k^2+l^2}sin(x+\alpha)[/tex], където [tex]sin\alpha = \frac{l}{\sqrt{k^2+l^2}}[/tex]
[tex]...=\int \frac{d(x+\alpha)}{\sqrt{k^2+l^2}sin(x+\alpha)+m}[/tex]. След смяна на променливи за по-лесен запис [tex]x + \alpha = u; \sqrt{k^2+l^2}=c[/tex].
[tex]...=\int \frac{du}{c sinu+m}[/tex]
Което не решава проблема ти, но го опростява.

I.) [tex]k=0, l=0,m\ne 0=>[/tex]

[tex]\int \frac{1}{ksinx+lcosx+m}dx=\int \frac{1}{0sinx+0cosx+m}dx=\int \frac{1}{m}dx=\frac{1}{m}\int dx=\frac{1}{m}x+C[/tex]

II.)[tex]k^2+l^2 \ne 0<=>[/tex] поне едно от числата [tex]k, l[/tex] не е нула.


[tex]\sqrt{k^2+l^2}=c=> c>0[/tex].

[tex]...=\int \frac{du}{c sin u+m}=...[/tex]

Сега използвай универсалната субституция:

[tex]tg \frac{u}{2}=t=>du=\frac{2}{1+t^2}dt, sinu=\frac{2t}{1+t^2}[/tex]

[tex]...=\int \frac{du}{c sinu+m}= \int \frac{1}{c \frac{2t}{1+t^2}+m}.\frac{2}{1+t^2}dt=[/tex]

[tex]=\int \frac{1}{ \frac{2ct+m(1+t^2)}{1+t^2}}.\frac{2}{1+t^2}dt=[/tex]

[tex]=2 \int \frac{1}{2ct+m(1+t^2)}dt=2 \int \frac{1}{mt^2+2ct+m}dt[/tex]

1.) [tex]m=0=>[/tex]

[tex]=2 \int \frac{1}{mt^2+2ct+m}dt=2 \int \frac{1}{2ct}dt=\frac{1}{c} \int \frac{1}{t}dt=\frac{1}{c}ln|t|+C=\frac{1}{c}ln|tg\frac{u}{2}|+C=\frac{1}{c}ln|tg\frac{x+\alpha }{2}|+C[/tex]

2.)[tex]m \ne 0[/tex]

[tex]2 \int \frac{1}{mt^2+2ct+m}dt[/tex]

Хорнеровата субституция:

[tex]t=z-\frac{b}{2a}=z-\frac{2c}{2m}=z-\frac{c}{m}=> dz=dt[/tex]

[tex]2 \int \frac{1}{mt^2+2ct+m}dt=2 \int \frac{1}{m(z-\frac{c}{m})^2+2c(z-\frac{c}{m})+m}dz=[/tex]

[tex]=2 \int \frac{1}{mz^2-2cz+\frac{c^2}{m}+2cz-2\frac{c^2}{m}+m}dz=[/tex]

[tex]=2 \int \frac{1}{mz^2-\frac{c^2}{m}+m}dz=[/tex]


[tex]=2 \int \frac{1}{m(z^2-\frac{c^2}{m^2}+1)}dz=[/tex]

[tex]=2 . \frac{1}{m} \int \frac{1}{z^2+\frac{m^2-c^2}{m^{2}}}dz=[/tex]

[tex]= \frac{2}{m} \int \frac{1}{z^2+\frac{m^2-c^2}{m^{2}}}dz=[/tex]

Полaгайки: [tex]\frac{m^2-c^2}{m^{2}}=q[/tex]

[tex]=\frac{2}{m} \int \frac{1}{z^2+q}dz=[/tex]

a.) [tex]q>0[/tex]

[tex]=\frac{2}{m} \int \frac{1}{z^2+q}dz=\frac{2}{m} \int \frac{1}{z^2+(\sqrt{q}^2)}dz=\frac{2}{m} \frac{1}{(\sqrt{q})^2}\int \frac{1}{(\frac{z}{\sqrt{q}})^2+1}dz=[/tex]

[tex]= \frac{2}{m\sqrt{q}}\int \frac{1}{(\frac{z}{\sqrt{q}})^2+1}d( \frac{z}{\sqrt{q}})=[/tex]

[tex]= \frac{2}{m\sqrt{q}}arctg(\frac{z}{\sqrt{q}}) +C=\frac{2}{m\sqrt{q}}arctg(\frac{t+\frac{c}{m}}{\sqrt{q}}) +C=\frac{2}{m\sqrt{q}}arctg(\frac{tg(\frac{u}{2})+\frac{c}{m}}{\sqrt{q}})+C[/tex]

[tex]=\frac{2}{m\sqrt{q}}arctg(\frac{tg(\frac{x+\alpha }{2})+\frac{c}{m}}{\sqrt{q}})+C[/tex]

Следва продължение при: [tex]q<0[/tex] и при [tex]q=0[/tex]...

п.п. но мисля, че вече е по-лесно...

[stflyfisher]

б.) [tex]q=0<=>m^2-k^2-l^2=0[/tex]

[tex]\frac{2}{m}\int \frac{1}{z^2+q}dz=\frac{2}{m}\int \frac{1}{z^2+0}dz=\frac{2}{m}\int \frac{1}{z^2}dz=\frac{2}{m}\int z^{-2}dz=\frac{2}{m}.\frac{z^{-2+1}}{-2+1}+C=-\frac{2}{m}.z^{-1}+C=[/tex]

[tex]=-\frac{2}{m}.\frac{1}{z}+C=-\frac{2}{m.z}+C=-\frac{2}{m.(t+\frac{c}{m}})+C=-\frac{2}{m.t+c}+C=[/tex]

[tex]=-\frac{2}{m.tg(\frac{u}{2})+c}+C=-\frac{2}{m.tg(\frac{x+\alpha }{2})+c}+C=[/tex]

[tex]=-\frac{2}{m.tg(\frac{x+\alpha }{2})+\sqrt{k^2+l^2}}+C[/tex],

където: [tex]sin\alpha =\frac{l}{\sqrt{k^2+l^2}}[/tex]

Заб: Ъгъл [tex]\alpha[/tex] съществува, защото:

1.)[tex]-1\le \frac{l}{\sqrt{k^2+l^2}}\le 1[/tex]

2.)[tex]-1\le \frac{k}{\sqrt{k^2+l^2}}\le 1[/tex]

3.)[tex](\frac{l}{\sqrt{k^2+l^2}})^2+(\frac{k}{\sqrt{k^2+l^2}})^2=\frac{l^2}{k^2+l^2}+\frac{k^2}{k^2+l^2}=\frac{l^2+k^2}{l^2+k^2}=1[/tex]

От 1.), 2.) и 3.)[tex]=>\exist \angle \alpha : sin \alpha =\frac{l}{\sqrt{k^2+l^2}}, cos \alpha = \frac{k}{\sqrt{k^2+l^2}}[/tex]

Следва продължение за [tex]q<0[/tex]...

[stflyfisher]

в.) [tex]q<0=>-q>0<=>m^2-k^2-l^2<0=>k^2+l^2-m^2>0[/tex]

[tex]\frac{2}{m} \int \frac{1}{z^2+q}dz=\frac{2}{m} \int \frac{1}{z^2-(-q)}dz=\frac{2}{m} \int \frac{1}{z^2-(\sqrt{-q})^2}dz=[/tex]

Палагaме: [tex]\sqrt{-q}=p, p>0[/tex]

[tex]\frac{2}{m} \int \frac{1}{z^2-p^2}dz= \frac{2}{m.p^2} \int \frac{1}{\frac{z^2}{p^2}-1}dz=\frac{2}{m.p^2} \int \frac{1}{(\frac{z}{p})^2-1}dz=[/tex]

[tex]=\frac{2}{m.p} \int \frac{1}{(\frac{z}{p})^2-1}d(\frac{z}{p})=[/tex]

Полагаме: [tex]\frac{z}{p}=y, d(\frac{z}{p})=dy[/tex]

[tex]=\frac{2}{m.p} \int \frac{1}{y^2-1}dy=\frac{2}{m.p} \int \frac{y+1-y}{y^2-1}dy=[/tex]

[tex]=\frac{2}{m.p}[ \int \frac{y+1}{y^2-1}dy- \int \frac{y}{y^2-1}dy]=\frac{2}{m.p}[ \int \frac{y+1}{(y-1)(y+1)}dy- \frac{1}{2}\int \frac{1}{y^2-1}d(y^2)]=[/tex]

[tex]=\frac{2}{m.p}[ \int \frac{1}{y-1}dy- \frac{1}{2}\int \frac{1}{y^2-1}d(y^2-1)]=[/tex]

[tex]=\frac{2}{m.p}[ \int \frac{1}{y-1}d(y-1)- \frac{1}{2}\int \frac{1}{y^2-1}d(y^2-1)]=[/tex]

[tex]=\frac{2}{m.p}[ ln|y-1|- \frac{1}{2}ln|y^2-1|]=\frac{2}{m.p}.\frac{1}{2}[2 ln|y-1|- ln|(y-1)(y+1)|]+C=[/tex]

[tex]=\frac{1}{m.p}[ ln|y-1|^2- ln|(y-1)(y+1)|]+C=\frac{1}{m.p}[ ln|(y-1)^2|- ln|(y-1)(y+1)|]+C=[/tex]

[tex]=\frac{1}{m.p}. ln |\frac{(y-1)^2}{ (y-1)(y+1)}|+C=\frac{1}{m.p}. ln |\frac{y-1}{ y+1}|+C=[/tex]


[tex]=\frac{1}{m.\sqrt{-q}}. ln |\frac{\frac{z}{\sqrt{-q}}-1}{\frac{z}{\sqrt{-q}}+1}|+C=[/tex]

[tex]=\frac{1}{m.\sqrt{-q}}. ln |\frac{\frac{t+\frac{c}{m}}{\sqrt{-q}}-1}{\frac{t+\frac{c}{m}}{\sqrt{-q}}+1}|+C=[/tex]

[tex]=\frac{1}{m.\sqrt{-q}}. ln |\frac{t+\frac{c}{m}-\sqrt{-q}}{t+\frac{c}{m}+\sqrt{-q}}|+C=[/tex]

[tex]=\frac{1}{m.\sqrt{-q}}. ln |\frac{m.t+c-m.\sqrt{-q}}{m.t+c+m.\sqrt{-q}}|+C=[/tex]

[tex]=\frac{1}{m.\sqrt{-q}}. ln |\frac{m.tg(\frac{u}{2})+c-m.\sqrt{-q}}{m.tg(\frac{u}{2})+c+m.\sqrt{-q}}|+C=[/tex]

[tex]=\frac{1}{m.\sqrt{k^2+l^2-m^2}}. ln |\frac{m.tg(\frac{x+\alpha }{2})+c-m.\sqrt{k^2+l^2-m^2}}{m.tg(\frac{x+\alpha }{2})+c+m.\sqrt{k^2+l^2-m^2}}|+C=[/tex]

[stflyfisher]

Окончателно:

При: [tex]k, l, m \in \Re[/tex]

[tex]\int \frac{1}{k.sinx+l.cosx+m}dx[/tex]

[tex]\exist \angle \alpha : sin \alpha =\frac{l}{\sqr{k^2+l^2}}[/tex]

I.) При: [tex]k=l=0, m\ne 0[/tex]

[tex]\int \frac{1}{k.sinx+l.cosx+m}dx=\frac{1}{m}x+C[/tex]

II.) При: [tex]k^2+l^2\ne 0<=>[/tex] поне едно от числата [tex]k,l[/tex] не е нула

II. 1.) При: [tex]m=0[/tex]

[tex]\int \frac{1}{k.sinx+l.cosx+m}dx=\frac{1}{\sqrt{k^2+l^2}}.ln|tg(\frac{x+\alpha }{2})|+C[/tex]

II. 2.) При: [tex]m\ne 0[/tex]

II. 2.a.)При: [tex]\frac{m^2-k^2-l^2}{m^2}>0[/tex]

[tex]\int \frac{1}{k.sinx+l.cosx+m}dx=\frac{2}{m.\sqrt{\frac{m^2-k^2-l^2}{m^2}}}.arctg \frac{tg(\frac{x+\alpha }{2})+\frac{\sqrt{k^2+l^2}}{m}}{\sqrt{\frac{m^2-k^2-l^2}{m^2}}}+C[/tex]

II. 2.a.) При: [tex]m^2-k^2-l^2=0[/tex]

[tex]\int \frac{1}{k.sinx+l.cosx+m}dx=-\frac{2}{\sqrt{k^2+l^2}+m.tg(\frac{x+\alpha }{2})}+C[/tex]

II.2.б.) При: [tex]\frac{m^2-k^2-l^2}{m^2}<0[/tex]


[tex]\int \frac{1}{k.sinx+l.cosx+m}dx=\frac{1}{m.\sqrt{\frac{k^2+l^2-m^2}{m^2}}}.ln|\frac{m.tg(\frac{x+\alpha }{2})+\sqrt{k^2+l^2}-m.\sqrt{\frac{k^2+l^2-m^2}{m^2}}}{m.tg(\frac{x+\alpha }{2})+\sqrt{k^2+l^2}+m.\sqrt{\frac{k^2+l^2-m^2}{m^2}}}|+C[/tex]

п.п. Възможно е да се опростят решениета при II.2.) като се разгледат при [tex]m>0[/tex] и [tex]m<0[/tex]. Приемам забележки по решението на задачата

[stflyfisher]

в.) [tex]=\frac{1}{m.\sqrt{k^2+l^2-m^2}}. ln |\frac{m.tg(\frac{x+\alpha }{2})+c-m.\sqrt{k^2+l^2-m^2}}{m.tg(\frac{x+\alpha }{2})+c+m.\sqrt{k^2+l^2-m^2}}|+C=[/tex]

Тук имам малка грешка

Вярното е:

в.) [tex]=\frac{1}{m.\sqrt{k^2+l^2-m^2}}. ln |\frac{m.tg(\frac{x+\alpha }{2})+c-m.\sqrt{\frac{k^2+l^2-m^2}{m^2}}}{m.tg(\frac{x+\alpha }{2})+c+m.\sqrt{\frac{k^2+l^2-m^2}{m^2}}}|+C=[/tex]