Сходимост на редица

[veronicaboneva]

Задачата е да се докаже, че дадената редица е сходяща...моля да ми обясните какъв е принципът, по който да стане това:
{ [tex]x_{n}[/tex] } = 2 [tex]\sqrt{ x_{n-1} }[/tex] + [tex]\sqrt[4]{ x_{n-2} }[/tex] , [tex]x_{0}[/tex] = 1 , [tex]x_{1}[/tex] > 0

[mkmarinov]

1) Всички членове са положителни.
2) Определяш монотонността на редицата.
3) Ако е растяща - трябва да е ограничена отгоре. Ако е намаляваща - трябва да е ограничена отдолу.

[veronicaboneva]

Като теория ми е ясно...не знам как да я приложа на практика...как да докажа в конкретната задача, че редицата е монотонна и съответно ограничена?

[mkmarinov]

Доказването на монотонността тук ще изисква малко повече писане. Редицата е монотонна, когато [tex]a_n-a_{n-1}[/tex] е с постоянен знак за безброй много последователни стойности на n.
Ако е намаляваща - ограничена е отдолу от нулата.
Ако е растяща - трябва да се пише допълнително.
Ограничеността обикновено се доказва по индукция.
Първо, предполагаш, че редицата е сходяща, и намираш евентуалната й граница. Ако тази граница е l,
[tex]l=2\sqrt{l}+\sqrt[4]{l}, \sqrt[4]{l}=u[/tex]
[tex]u(u^3-2u+1)=0[/tex]
[tex]u(u-1)(u^2+u-1)=0[/tex]
След връщане в полагането намираш 4 "кандидат-граници".
Сега знаеш горе-долу откъде е ограничена редицата. Избираш си някое приятно число, по-голямо от четирите "кандидат-граници" и доказваш, че всеки член е по-малък от него (по индукция).

[veronicaboneva]

Точно на този принцип я решавах и съответно намерих границата, която ще има редицата ако е сходяща...но да се вземе удобна стойност по-голяма от намерената граница - ами ако членове на редицата попадат между намерената граница и съответната взета стойност?

[mkmarinov]

Ами на теб ти е достатъчна произволна горна граница за да докажеш сходимост, не най-малката.

[veronicaboneva]

Благодаря А можеш ли да ми покажеш писмено как се доказва, че е монотонна. Ясно, че условието е [tex]a_{n}[/tex] - [tex]a_{n-1}[/tex] да е с постоянен знак, но не знам как да го докажа в тази задача.

[exp]

Според мен и двамата не тълкувате условието правилно. В задачката е казано, че [tex]x_0=1[/tex], [tex]x_1>0[/tex], така че сходимостта на редицата зависи от стойностите на [tex]x_1[/tex]. Изобщо не е верно, че редицата е монотонна за всички положителни стойости на[tex]x_1[/tex]. Например за [tex]0<x_1\leq (\sqrt{2}-1)^2[/tex] редицата е ограничена, но няма граница. За [tex](\sqrt{2}-1)^2<x_1<1[/tex] редицата монотонно намалява и клони към нула. За [tex]x_1\ge 1[/tex] го помислете и споделете.