Лице на фигура оградено от астроидата

[MasterZ]

[tex]x^{\frac{2}{3 } }+y^{\frac{2}{3 }}=a^{\frac{2}{ 3}[/tex]
[tex]0\le t\le 2\pi[/tex]
[tex]x=a.cos^3t[/tex]
[tex]y=a.sin^3t[/tex] - параметрично уравнение
[tex]S=4a^2\int_{0}^{2\pi }sin^4t.cos^2tdt=?[/tex]
Затруднява ме изчисляването на този интеграл.
П.П. Пробвах да ги прехвърля само на синус, но тогава получавам синус на 6та степен.
[tex]\int sin^6xdx=?[/tex]
П.П.
опитах се да го реша и с уравнение но нещо не ми излиза както трябва.

[Mark]

[tex]I_{m}=\int_{0}^{2\pi} sin^mxdx[/tex]
[tex]I_{m}=\frac{m-1}{m}I_{m-2}[/tex]

[stflyfisher]

[tex]x^{\frac{2}{3 } }+y^{\frac{2}{3 }}=a^{\frac{2}{ 3}[/tex]
[tex]0\le t\le 2\pi[/tex]
[tex]x=a.cos^3t[/tex]
[tex]y=a.sin^3t[/tex] - параметрично уравнение
[tex]S=4a^2\int_{0}^{2\pi }sin^4t.cos^2tdt=?[/tex]
Затруднява ме изчисляването на този интеграл.
П.П. Пробвах да ги прехвърля само на синус, но тогава получавам синус на 6та степен.
[tex]\int sin^6xdx=?[/tex]
П.П.
опитах се да го реша и с уравнение но нещо не ми излиза както трябва.

Не знам как достигаш до този интеграл . Но теорията е следната:

[tex]C: \begin{tabular}{|l}x= \phi(t)\\y=\psi(t) \\t \in[a,b]\end{tabular}[/tex]

To лицето на фигурата се смята по формулата:

[tex]S_C=\frac{1}{2} | \int_{a}^{b }[ \phi(t).\psi'(t)-\psi(t).\phi'(t)]dt|[/tex]

За тази задача:

[tex]\frac{dx}{dt}=-3.a.cos^{2}(t)sin(t)[/tex]

[tex]\frac{dy}{dt}=3.a.sin^{2}(t)cos(t)[/tex]

[tex]S_C=\frac{1}{2} | \int_{0}^{2\pi }[a.cos^3(t).3.a.sin^{2}(t)cos(t)-a.sin^3t.(-3.a.cos^{2}(t)sin(t))]dt|=...=[/tex]

[tex]=\frac{3a^2}{2}| \int_{0}^{2\pi }sin^{2}(2t)dt|=...= \frac{3a^2}{8}.\pi[/tex]

[MasterZ]

стигнах по тази формула:
[tex]|x=x(t);[/tex]
[tex]|y=y(t);[/tex]
[tex]|\alpha \le t\le \beta[/tex]
[tex]S=\int_{\alpha }^{ \beta }y(t).x'(t)dt[/tex]

[tex]dx=-3a.cos^2t.sintdt[/tex]

[tex]S=4\int_{0}^{2\pi }a.sin^3t(-3a.cos^2t.sint)dt=-12.a^2\int_{0}^{ 2\pi }sin^4t.cos^2tdt[/tex]
Така ни го предаде даскала.... Но като гледам много се разминава с твоята формула, да не би да ни е предадено грешно ... Сигурен съм, че не съм преписал или разбрал грешно, защото решихме около 5-6 задачи след това с тази формула?
получавам накрая [tex]S=\frac{15.a^2\pi }{16 }[/tex] при 2∏ или
[tex]S=\frac{15.a^2\pi }{64 }[/tex] при ∏/2;
Незнам защо на упражненията сме го писали ∏/2, но това е най-малкия проблем в случая защото се получават различни неща и при 2та случая. Моля кажете ми къде греша.

[MasterZ]

между другото отговора на твоя интеграл не трябва ли да е
[tex]\frac{3a^2\pi }{2 }[/tex]

[stflyfisher]

между другото отговора на твоя интеграл не трябва ли да е
[tex]\frac{3a^2\pi }{2 }[/tex]

Напиши твоето решението. Не е [tex]\frac{3a^2\pi }{2 }[/tex], а е: цък

[MasterZ]

между другото отговора на твоя интеграл не трябва ли да е
[tex]\frac{3a^2\pi }{2 }[/tex]

Напиши твоето решението. Не е [tex]\frac{3a^2\pi }{2 }[/tex], а е: цък

Имам предвит, че си направил малка грешка(не си изкарал 1/4 пред скобите когато си го направил sin^2(2t)) пред интеграла трябва да е 3.а^2/8 и така излиза точно ,защото интеграла е равен на ∏. Значи формулата която използвам ми е грешна щом с твоята излиза както трябва ... Мерси.

[stflyfisher]

Напълно си прав.Благодаря . Допуснал съм тази грешка . Правилното е:

[tex]=\frac{3a^2}{2}. \frac{1}{4}| \int_{0}^{2\pi }sin^{2}(2t)dt|=...=\frac{3a^2}{8}.\pi[/tex]