Изследване на функция и решение на интеграл

[kristiyan_]

Здравейте
1-курс студент съм и ще трябва да преставя до няколко дни курсова работа която ми е трудно да реша сам, ще сам ви много благодарен ако ми помогнете.
[tex]f(x)=\frac{x}{e^x }[/tex]

[tex]\int_{}^{ }\frac{5x^2-12}{(x^2-6x+13)^2 }dx[/tex]

На функцията стигам да някаде намирам д.м. , 1 и 2 пройзводна и граници и дотам,но за интеграла нямам представа как се решава ако може поне за него малко помощ.

Благодаря предварително.

[ferry2]

За първи път чувам функция да се решава. Постави си правилно въпроса.

[stflyfisher]

Здравейте
1-курс студент съм и ще трябва да преставя до няколко дни курсова работа която ми е трудно да реша сам, ще сам ви много благодарен ако ми помогнете.
[tex]f(x)=\frac{x}{e^x }[/tex]

[tex]\int_{}^{ }\frac{5x^2-12}{(x^2-6x+13)^2 }dx[/tex]

На функцията стигам да някаде намирам д.м. , 1 и 2 пройзводна и граници и дотам,но за интеграла нямам представа как се решава ако може поне за него малко помощ.

Благодаря предварително.

За интеграла използвай субституция на Хорнер:

[tex]x=t-\frac{b}{2a}=> t=x+\frac{b}{2a};dx=dt[/tex]

За този интеграл се получава:

[tex]x=t-\frac{-6}{2.1}=t+3=> t=x-3; dx=dt[/tex]

[tex]\int_{}^{ }\frac{5x^2-12}{(x^2-6x+13)^2 }dx=\int_{}^{ }\frac{5(t+3)^2-12}{[(t+3)^2-6(t+3)+13]^2 }dt=\int \frac{5t^2+30t+45-12}{(t^2+6t+9-6t-18+13)^2}dt=\int \frac{5t^2+30t+33}{(t^2+4)^2}dt=...[/tex]

[kristiyan_]

Здравейте
1-курс студент съм и ще трябва да преставя до няколко дни курсова работа която ми е трудно да реша сам, ще сам ви много благодарен ако ми помогнете.
[tex]f(x)=\frac{x}{e^x }[/tex]

[tex]\int_{}^{ }\frac{5x^2-12}{(x^2-6x+13)^2 }dx[/tex]

На функцията стигам да някаде намирам д.м. , 1 и 2 пройзводна и граници и дотам,но за интеграла нямам представа как се решава ако може поне за него малко помощ.

Благодаря предварително.

За интеграла използвай субституция на Хорнер:

[tex]x=t-\frac{b}{2a}=> t=x+\frac{b}{2a};dx=dt[/tex]

За този интеграл се получава:

[tex]x=t-\frac{-6}{2.1}=t+3=> t=x-3; dx=dt[/tex]

[tex]\int_{}^{ }\frac{5x^2-12}{(x^2-6x+13)^2 }dx=\int_{}^{ }\frac{5(t+3)^2-12}{[(t+3)^2-6(t+3)+13]^2 }dt=\int \frac{5t^2+30t+45-12}{(t^2+6t+9-6t-18+13)^2}dt=\int \frac{5t^2+30t+33}{(t^2+4)^2}dt=...[/tex]

Въпреки че не знам как да продължа все пак благодаря за насоката.

[Donatello]

После[tex]\int \frac{5t^2+30t+33}{(t^2+4)^2}dt= \int \( \frac{30 t+13}{(t^2+4)^2}+\frac{5}{t^2+4}\)dt[/tex]
После мисля, че знаеш какво да правиш, жокер на
[tex]\int \frac{dt}{(t^2+4)^2}[/tex] положи [tex]t=2tgu[/tex] Ако имаш затруднения пиши.

[Donatello]

А функцията се изследва по следния начин:
[tex]f(x)=\frac {x}{e^x}[/tex]
[tex]x \in (- \infty , + \infty)[/tex]
[tex]\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0[/tex] (защото[tex]e^x[/tex] е много по-бързо растяща)
[tex]\lim_{x \to- \infty} f(x) = - \infty[/tex]
при [tex]x=0, f(x)=0[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{1-x}{e^x}[/tex] => при[tex]x=1[/tex]имаш максимум ,[tex]f(1)=\frac{1}{e}[/tex]
[tex]f''(x)=\frac{x-2}{e^x}[/tex] => преди [tex]2, f(x)[/tex] е вдлъбната , а след [tex]2[/tex], е изпъкнала.
ето и графиката как изглежда

[kristiyan_]

Благодаря за съдействието.

[stflyfisher]

А функцията се изследва по следния начин:
[tex]f(x)=\frac {x}{e^x}[/tex]
[tex]x \in (- \infty , + \infty)[/tex]
[tex]\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0[/tex] (защото[tex]e^x[/tex] е много по-бързо растяща)
[tex]\lim_{x \to- \infty} f(x) = - \infty[/tex]
при [tex]x=0, f(x)=0[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{1-x}{e^x}[/tex] => при[tex]x=1[/tex]имаш максимум ,[tex]f(1)=\frac{1}{e}[/tex]
[tex]f''(x)=\frac{x-2}{e^x}[/tex] => преди [tex]2, f(x)[/tex] е вдлъбната , а след [tex]2[/tex], е изпъкнала.
ето и графиката как изглежда

Изследването не е подробните, но върши работа...до някъде. Само дето се губят интервалите на монотонност, асимптоти, поведение в краищата от ДМ на ф-та...То с програмка за изчертаване лесно става, но на изпита не помага

[Donatello]

Изследването не е подробните, но върши работа...до някъде. Само дето се губят интервалите на монотонност, асимптоти, поведение в краищата от ДМ на ф-та...То с програмка за изчертаване лесно става, но на изпита не помага

Случайно да си видял , че съм изследвал границата към какво клони при + и - безкрайност, което си е точно изследване в краищата на ДМ. Очевидно, че след като при + безкрайност ти клони към някакво число, то това ти е хоризонтална асимптота... => няма наклонена при + безкрайност, а при - безкрайност ти се получава - безкрайност => нямаш друга хоризонтална, просто не съм написал за наклонената, че я няма при - безкрайност, защото се получава неопределеност при f(x)/x , а щом при 1-цата имаш максимум, нормално е преди нея функцията да ти расте, а след това да намалява, все пак тук не се учим те първа как да я изследваме функция , това се прави в средното училище.
Ако не ти харесва описанието да беше дал ти решение и снимката е да му стане ясно как изглежда функцията или искаш да му я начертая на ръка на Paint !!!