Непрекъснатост на функция и най-малка стойност.

[Donatello]

Нека [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната в [tex]R[/tex] [tex]\lim_{x\to\ +\infty}f(x)=\lim_{x\to\ -\infty} f(x)=+\infty[/tex].
Докажете , че [tex]f(x)[/tex] има най-малка стойност в[tex]R[/tex].

[mkmarinov]

Да допусне, че f(x) няма най-малка стойност в R, т.е. съществува [tex]x_0: \lim_{x \to x_0}=-\infty[/tex]. Да се отбележи, че това е неопределеност, т.е. трябва функцията да е неопределена в [tex]x_0[/tex]. Но това противоречи с непрекъснатостта на функцията.

[Donatello]

Мерси много

[Donatello]

А един друг въпрос. Ако т.A не е нито горна , нито долна граница на редица следва ли , че т.А не е граница на редицата ?

[mkmarinov]

Съвсем не. Граница на редицата и горна/долна граница имат общо само по име. Горна/долна граница е всяко число, което е по-голямо/по-малко от всеки член на редицата. Граница на редицата може да бъде само едно число и то е винаги между горната и долната граница.
За пример: [tex]a_n=(-\frac{1}{2})^n[/tex]. Горната граница е 1/4, долната -1/2, границата на редицата е 0.