Докажете че е непрекъсната

[Kiro]

Докажете , че [tex]f'(x)[/tex] е непрекъсната в [tex](-1, + \infty)[/tex] ,където
[tex]f(x)=\left{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{ x} , & x \ne 0 \\\frac{1}{3 } , & x = 0 \end{array}\right[/tex].

[mkmarinov]

Малко трудно при условие, че f(x) не е определена в нулата.

[Kiro]

извинявам се , объркал съм условието, но го оправих.

[mkmarinov]

Първо трябва да докажеш, че е диференцируема в нулата (ясно е, че в останалата част на интервала е). Затова правиш диференчното частно в околност на нулата:
[tex]f'(0)=\frac{f(0+dx)-f(0)}{dx}=\frac{\frac{\sqrt[3]{dx+1}-1}{dx}-\frac{1}{3}}{dx}=\\=\frac{3\sqrt[3]{dx+1}-3-dx}{3dx^2}=[\frac{0}{0}]=...[/tex].
След това - трябва тази граница да е равна на границата на производната в останалата част, когато клони към нула.

[Kiro]

Аз намирам, че [tex]f'0) = -\frac{1}{9 }[/tex] , то всъщност това е първото условие на задачата да се намери [tex]f'(0) =[/tex] ? , а второто е да се докаже това ... та затова се чудех как се доказва за цялостния интервал.

[mkmarinov]

В общи линии, трябвало е да докажеш, че [tex]\lim_{x \to 0}f'(x)=f'(0)[/tex] (условие за непрекъснатост).