Правилно ли са решени тия интеграли :?

[mupo123]

[tex]\int_{}^{ }cos^{3}xdx=\int_{}^{ }cos^{2}x.cosxdx=\int{}^{}cos^{2}x.dsinx=\int{}^+{}1-sin^{2}x.dsinx=sinx-\frac{sin^{3}x}{3}+C[/tex]

[tex]\int_{}^{}sin5xdx=-\int_{}^{}d\frac{cos5x}{5}=-\frac{cos5x}{5}+C[/tex]

[tex]\int_{}^{}sin^{2}2xdx=\int_{}^{}\frac{1-cos4x}{2}dx=\frac{1}{2}\int_{}^{}1-cos4xdx=\frac{1}{2}\int_{}^{}dx-\frac{1}{2}\int_{}^{}d\frac{sin4x}{4}=\frac{x}{2}-\frac{sin4x}{8}+C[/tex]

[tex]\int_{}^{}cosx.e^{sinx}dx=\int_{}^{}e^{sinx}dsinx=e^{sinx}+C[/tex]

[tex]\int_{}^{}tgxdx=\int_{}^{}\frac{sinx}{cosx}dx=-\int_{}^{}\frac{1}{cosx}dcosx=-ln|cosx|+C[/tex]

[tex]\int_{}^{}\frac{1}{sin2x}dx=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{sinx.cosx}dx=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{\frac{1}{cos^{2}x}}{\frac{sinx.cosx}{cos^{2}x}}=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{tgx}dtgx=\frac{1}{2}ln|tgx|+C[/tex]

[MasterZ]

мисля, че да.

[mupo123]

А този интеграл [tex]\int_{}^{}arcsinxdx=
x.arcsinx-\int_{}^{}xdarcsinx=
x.arcsinx-\int_{}^{}x.\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=[/tex]
[tex]x.arcsinx-\int_{}^{}\frac{x}{\sqrt{x^{2}}.sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}}dx[/tex]

[tex]=x.arcsinx-\int_{}^{}\frac{1}{sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}}dx=x.arcsinx-ln|x+\sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}|[/tex]+C

така ли е ?

[MasterZ]

А този интеграл [tex]\int_{}^{}arcsinxdx=
x.arcsinx-\int_{}^{}xdarcsinx=
x.arcsinx-\int_{}^{}x.\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=[/tex]
така ли е ?

а защо просто не направиш така:
[tex]-\int x.\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\frac{1}{2 } \int \frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^{2}}} =\sqrt{1-x^2}[/tex]

[mupo123]

А имам ли право например ако имам [tex]\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}}dx^{2}[/tex] този интеграл и да направя така: [tex]x^{4}\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}}d\frac{1}{x^{2}}[/tex] и да се получи съответно [tex]x^{4}.ln|x+\sqrt{\frac{1}{x^{2}-1}}|[/tex] ?

[mkmarinov]

Не можеш така да изнасяш х извън интеграла.

[mupo123]

Не можеш така да изнасяш х извън интеграла.

Да,разбрах го вече а как бих могъл да реша този интеграл в случая

[mkmarinov]

[tex]\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx =\frac{1}{2} \int \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{dx^2}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{2} \int \frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=-\int \frac{d(1-x^2)}{2\sqrt{1-x^2}}=-\sqrt{1-x^2}+C[/tex]

[mupo123]

Хах,10X

А искам да попитам и за още един итеграл ,на който получавам странно решение:
[tex]\int_{}^{}\frac{1}{x^{3}-1}dx[/tex] тук се опитвам да го направя с МНК,но първо трябва този знаменател да се разложи по възможно най-добрия начин на прости множители. [tex]x^{3}-1=(x^{3}-3x^{2}+3x-1)+3x^{2}-3x=(x-1)^{3}+3x^{2}-3x=[/tex]
[tex](x-1)^{3}+3x(x-1)=(x-1)((x-1)^{2}+3x)==(x-1)(x^{2}+x+1)=(x-1)[(x+1)^{2}-x]=[/tex]
[tex](x-1)[(x+1)^{2}-\sqrt{x}^{2}][/tex]...... но с това не стигам до никъде.Можете ли да ми кажете как да го опростя,т.ч да бъде удобен за итегриране в последствие

[Donatello]

[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{1-x^3}=\int \frac{dx}{(1-x)(1+x+x^2)} = \int \(\frac{1}{3(1-x)} +\frac{x+2}{3(x^2+x+1)} \)dx=[/tex]
[tex]-\frac{1}{3}ln|x-1|+\frac{1}{3}\int\frac{xdx}{((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})}+\frac{2}{3}\int\frac{dx}{((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})}[/tex]
Полагаш [tex]x+\frac{1}{2}[/tex]
и си готов