n-та производна в 0 (чрез Маклорен)

[7:30]

Здравейте! : )

Бих желал да попитам как се решават задачи от вида:

За функцията:

[tex]f(x) = ( 2 + 3x^{12})/( 3 + 5x^{15})[/tex]

да се намери

[tex]f^{87} (0) = ?[/tex]
[tex]f^{88} (0) = ?[/tex]

Единственото заключение, което мога да направя е за знаменателя : [tex]3^{2n}[/tex]

Знам, че се ползва ф-ла на Тейор ( в частност на Маклорен, понеже е в 0).. но нямам представа как..

Ако може някой да ми обясни как става стъпка по стъпка ( и защо? ) ще съм му много благодарен..

[martin123456]

не мисля че става с маклорен или тейлор, понеже там има остатаъчен член, мисля че става по индукция

[7:30]

Е то само намирането на втората производна става трудоемко откъм сметки..
Ето тук някакви хора го обсъждат това, но не ми става много ясно:

http://www.mathhelpforum.com/math-help/ ... eries.html

То тоя остатъчен член не става ли някаква константа в 0 ?

[martin123456]

може би
всяка рационалана функция може да се развие в тейлоров ред
[tex]\frac{2+3x^{12}}{3+5x^{15}}=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k[/tex]
[tex]2+3x^{12}=(3+5x^{15})\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k[/tex]
[tex]2+3x^{12}=3\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k+\sum_{k=0}^{\infty}5a_kx^{k+15}=3\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k+\sum_{k=15}^{\infty}5a_{k-15}x^k[/tex]
[tex]2+3x^{12}=2\sum_{k=0}^{14}a_kx^k + \sum_{k=15}^{\infty}(3a_k+5a_{k-15})x^k[/tex]
това трябва да е в сила за всяко x в радиуса на сходимост на реда на тейлор в началото
значи
[tex]2=2a_0[/tex]=>[tex]a_0=1[/tex]
[tex]a_k=0 \forall x \in \{1,2,\ldots,11,13,14\}[/tex]
[tex]3=2a_{12}[/tex]=>[tex]a_{12}=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]3a_k+5a_{k-15}=0 \forall x \geq 15[/tex]=>[tex]a_k=-\frac{5}{3}a_{k-15}[/tex]

[tex]a_{87}=-\frac{5}{3}a_{72}=(-\frac{5}{3})^2a_{57}=(-\frac{5}{3})^3a_{42}=(-\frac{5}{3})^4a_{27}=(-\frac{5}{3})^5a_{12}=(-\frac{5}{3})^5\frac{3}{2}[/tex]
[tex]a_{88}=-\frac{5}{3}a_{73}=(-\frac{5}{3})^2a_{58}=(-\frac{5}{3})^3a_{43}=(-\frac{5}{3})^4a_{28}=(-\frac{5}{3})^5a_{13}=0[/tex]

от друга страна [tex]a_k=\frac{f^{(k)}(x)}{k!}[/tex]

[1-vi klas]

тва става с тейлор

[7:30]

Добре,

[tex]f(x) = 2 + 3x^{12} * (3+5x^{15})^{-1}[/tex]

Не съм много сигурен в това, което ще напиша, поправете ме ако не е така:

Нека
[tex]g(x) = 2 + 3x^{12}[/tex]
и
[tex]h(x) = (3+5x^{15})^{-1}[/tex]

Ако използваме ф-лата на Лайбниц:
[tex](g.h)^n = ...[/tex]
Не мога да то напиша на ЛАТЕКС това, равно е на "Сума k се мени от 0 до n, от n над k по k-тата производна на g по n-kтата производна на h"

http://www.math.ohio-state.edu/~nevai/H ... ula_H6.pdf

.. като ф-лата за [tex](a+b)^n[/tex] само че вместо степени - номера на производни

вижда се, че
[tex]g^n(0) = 0[/tex]
за всяко n - отначало имаме константа по x на някоя степен, а после само константа, т.е. винаги е 0

и замествайки тези нули във ф-лата на Лайбниц получаваме:

[tex]f^{87} (0) = h^{87}(0)[/tex]

натам не съм го мислил, ама пак май може да се използва за докалателството ф-лата

Има ли някаква грешка в тия работи дето написах?

[martin123456]

защо дас;едва че всички производни са 0ли

[7:30]

на
[tex]2+3x^{12}[/tex]

производната в нула си е все нула - като почнем дадиференцирамер първите 11 производни са във вида
const * x^n, 12тата е константа някаква, натам са призводни от нула = 0