Граница на функция и локален екстремум

[pennev]

Здравейте, може ли някой да ми помогне с решаването на тези задачи.

1.Да се намерят границите на фунцкиите, чрез теоремите на Лопитал:
[tex]lim_{x\to\0}(\frac{arcsinx}{x } )^{\frac{1}{x^2 } }[/tex]

[tex]lim_{x\to\1}( x-1 )^{lnx}[/tex]

2.Изследвайте функциите за локален екстремум:

[tex]y=\frac{x^3}{1-x^2}[/tex]

[tex]y=x-2arctgx[/tex]

[seppen]

По-конкретни въпроси?
Много е писане.
Идеята на първата е да докараш тия работи до 0/0 или inf/inf. На а) в момента е 1^inf, затова трябва да напишеш e^(ln(arcsinx/x) / x^2), което е e^0/0 и може Лопитал.
На втората търсиш точките, в които първата производна си сменя знака.

[pennev]

Ами 4-я пример го направих така. Верен ли е?

[seppen]

Да, вярно е.
Като се замисля, 1-ва не е толкова лесна.
Навсякъде има lim и трябва да се напишат неопределеностите, домързя ме да ги слагам.
Ползва се [tex]\normal ln(1+\alpha) \sim \alpha, \alpha \to 0[/tex]

[tex](\frac{arcsin x}{x})^{\frac{1}{x^2}} = e^{\frac{\ln (1+\frac{arcsin x}{x}-1)}{x^2}} = e^{\frac{arcsin x - x}{x^3}}[/tex]
Лопитал два пъти.
[tex]e^{\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1}{3x^2}} = e^{\frac{x}{{(1-x^2)}^{3/2}6x}}=e^{\frac{1}{6}}[/tex]
Мисля, че е така.
Може вместо два пъти Лопитал, да ползваш и [tex](1+\alpha)^{\frac{1}{n}} - 1\sim \frac{\alpha}{n}[/tex]