Определен интеграл

[delish]

[tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \frac {1+cosx}{1+cos^2x} dx[/tex]

[ferry2]

[tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \frac {1+cosx}{1+cos^2x} dx[/tex] Прилагаме универсалната субституция [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow \tan \frac{x}{2}=y, x=2\arctan y, \cos x=\frac{1-y^2}{1+y^2}, dx=\frac{2dy}{1+y^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1+cosx}{1+cos^2x} dx= \int_{0}^{1} \frac{1+\frac{1-y^2}{1+y^2}}{\left[1+\left(\frac{1-y^2}{1+y^2}\right)^2\right]}.\frac{2dy}{1+y^2}= \int_{0}^{1} \frac{2dy}{1+y^4}=2\arctan (y^2)|_{0}^{1}=\frac{\pi}{2}[/tex]

[delish]

Не мисля, че [tex]\int_{}^{} \frac{2dy}{1+y^4 }=2arctan(y^{2})[/tex]. За да е изпълнено това не трябва ли под диференциала от ляво да седи [tex]y^{2}[/tex], а не y?

[MasterZ]

Не мисля, че [tex]\int_{}^{} \frac{2dy}{1+y^4 }=2arctan(y^{2})[/tex]. За да е изпълнено това не трябва ли под диференциала от ляво да седи [tex]y^{2}[/tex], а не y?

Намери производната за проверка(когато не си сигурен), очевидно си прав.

[vel.angelov]

[tex]\int_{}^{} \frac{dy}{1+y^4 }=\frac{1}{4}(\int_{}^{} \frac{2-\sqrt{2} y }{y^{2}-\sqrt{2}y+1}dy+\int_{}^{} \frac{2+\sqrt{2} y }{y^{2}+\sqrt{2}y+1}dy)[/tex]
Сега след като направим знаменателите точни квадрати и малко хамалогия се стига до решението.
Но според мен по добре е този метод:
[tex]\int_{}^{} \frac {1+cosx}{1+cos^2x} dx=\frac {1}{2} \int_{}^{} \frac {dx}{cos2x} + \int_{}^{} \frac {dsinx}{2-sin^{2}x}[/tex]
Първият от тези става с полагане на t=tgx, а втория се решава лесно(някъде го дават като табличен).

[delish]

Благодаря за отговорите!

[ferry2]

@delish, извинявай за подвеждането. Не е нарочно, решавах интеграла набързо преди да изляза за работа и в бързината съм се объркал. Добре, че си забелязал грешката ми.