как се решава задача от този вид...

[milkana]

Ако[tex]lim a_{n} =L[/tex] когато [tex]n ->\infty[/tex] ,то [tex]lim \frac{a_{n}}{n }=0[/tex],когато[tex]n ->\infty[/tex].
Трабва да се използва само определението за граница...
Как да избера епсилон ?

[tex]|\frac{a_{n}}{n }|<| \frac{a_{n-L}}{n }|+|\frac{L}{ n}|[/tex]
и до тук .....

[milkana]

Аз си мисля че решението е нещо подобно, но не съм сигурна защото не сме решавали нещо такова или близко до него....
Ако някой може да ми каже дали е така много ще се радвам....

От това че е дадено че [tex]\lim_{n\to\infty } a_{n}= L[/tex] следва че завсеки Е'>0 (епсилон не намерих нещо по подходящо) съществува [tex]n_{1}[/tex] за които е в сила : [tex]|a_{n} -L|<E'[/tex],в частност за [tex]E'=\frac{E.|L|}{ 2}[/tex]

За да докаже че 0 е граница трябва да се намери n така че [tex]|\frac{a_{n}}{n} -0|<E :

|\frac{a_{n}}{n}|=|\frac{a_{n-L+L}}{n}|< |\frac{a_{n-L}}{n}|+|\frac{L}{n}|< |\frac{a_{n-L}}{L}|+|\frac{L}{n}|=|\frac{\frac{E.|L|}{ 2}}{L}|+|\frac{E}{2}|*=E[/tex]

остана да докажа * :
за Е>0 ще избереме [tex]N=[\frac{2|L|}{E }][/tex] ще покажем че [tex]n_{2}>N[/tex] e вярно [tex]\frac{|L|}{n }<\frac{E}{ 2}
n_{2}>N => n_{2}>[\frac{2|L|}{E }]\ge\frac{2|L|}{E } => \frac{|L|}{ n_{2}}<\frac{E}{2 }[/tex]

и накрая ще избереме n да е максимума между n1 и n2

[vel.angelov]

Ето така е достатъчно:
Ще док че съществува N такова че при n>N e изпълнено

[tex]|\frac{a_{n}}{n} -0|<E[/tex]
[tex]|\frac{a_{n}}{n}|<E[/tex]
[tex]\frac{|a_{n}|}{n} <E[/tex]
[tex]\frac{|a_{n}|}{E} <n[/tex]
тогава при [tex]N= [\frac{|L|}{E }][/tex] съществува n>N за което да е изпълнено исканото от което следва ...