Интегрално неравенство

[Kiro]

Докажете неравенството:
[tex]\frac{1}{2}-\frac{1}{e}<\int_{0}^{1}\frac{xdx}{e^x(x^2+1)}[/tex]

[MasterZ]

Построй графиката на функцията от дясно и виж какво приблизително излиза за лицето в инт [0,1]

[vel.angelov]

Нека [tex]f(x)[/tex] е някаква функция за която [tex]f(x)| _{0}^{1 }=\frac{1}{2 }-\frac{1}{e }[/tex]
намираме [tex]f(x)=-\frac{x+1}{2e^{x} }[/tex]
Тогава [tex]\frac{1}{2 }-\frac{1}{e} =-\int_{0}^{1 } d\frac{x+1}{2e^{x}}[/tex]
[tex]=>\frac{1}{2 }-\frac{1}{e } =\int_{0}^{1 } \frac{x}{2e^{x}}dx[/tex]
но [tex]\frac{x}{2e^{x}}<\frac{x}{e^x(x^2+1)}[/tex] за всяко [tex]x\in (0,1)[/tex]
от където следва исканото

[MasterZ]

Нека [tex]f(x)[/tex] е някаква функция за която [tex]f(x)| _{0}^{1 }=\frac{1}{2 }-\frac{1}{e }[/tex]
намираме [tex]f(x)=-\frac{x+1}{2e^{x} }[/tex]
Тогава [tex]\frac{1}{2 }-\frac{1}{e} =-\int_{0}^{1 } d\frac{x+1}{2e^{x}}[/tex]
[tex]=>\frac{1}{2 }-\frac{1}{e } =\int_{0}^{1 } \frac{x}{2e^{x}}dx[/tex]
но [tex]\frac{x}{2e^{x}}<\frac{x}{e^x(x^2+1)}[/tex] за всяко [tex]x\in (0,1)[/tex]
от където следва исканото

[tex]-\frac{x+1}{2e^x }|_{0}^{1}=-\frac{1}{ e}[/tex] но пък може така:

[tex]-\int_{e}^{2 } x^{-2}dx=\frac{1}{2 }-\frac{1}{e }[/tex]
[tex]-x^{-2}<\frac{x}{e^x(x^2+1) }[/tex]
което е очевидно за [tex]x\in (0;1)[/tex]
Браво за идеята

[vel.angelov]

За да напишеш последното трябва интеграла да се мени в граници от 0 до 1 ,тогава вече можеш да сравняваш подинтегрални функции.Ако:
[tex]f(x)<g(x)[/tex] за всяко [tex]x\in(a,b) <=>\int_{a}^{b } f(x)dx<\int_{a}^{b } g(x)dx[/tex]