интеграл dx/(2+sinx)^2 x=0 до пи/2

[just_me]

∫dx/(2+sinx)^2 x=0 до пи/2

[ferry2]

Приложи универсалната субституция: [tex]\tan \frac{x}{2}=t, x=2\arctan x, dx = \frac{dt}{1+x^2}, \sin x=\frac{2t}{1+t^2}[/tex]

[just_me]

Приложих я, но явно допускам някаква грешка при пресмятането, която не мога да открия ... Ще съм много благодарна, ако може някой да я разпише

[ferry2]

Разпиши ти докъде стигаш.

[just_me]

∫dx/(2 + sinx)^2 x=0 до пи/2=∫dx/(4 + 4sinx + (sinx)^2) [x=0 до пи/2]
Полагам t=tg x/2 => x=2arctgx
dx=2/(1+t^2) dt
sinx=2t/(1+t^2)
t=tgx/2 => Замествам х с 0 и с пи/2 и получавам следния интеграл:
∫(1/(4 + 4*(2t/(1+t^2)) +(2t/(1+t^2))^2 )) * (2/(1+t^2))dt [t=0 до 1]= ∫( ((1+t^2)^2)/(2* (2(1+t^2)^2+4t(1+t^2) +4t^2) ) ) * (2/(1+t^2))dt [t=0 до 1]=
=∫(1+t^2)/(2+4t^2+2t^4+4t+4t^3+4t^2) dt = 1/2 ∫(1+t^2)/(t^4+2t^3+4t^2+2t+1) dt [t=0 до 1]
Оттук нататък опитах да разделя интеграла на 2, но пак не получих каквото трябва...

[ferry2]

[tex]\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{(2 + \sin x)^2} =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{(4 + 4\sin x + \sin^2 x)}[/tex]
Полагам [tex]t=\tan \frac{x}{2} => x=2\arctan x, dx=\frac{2}{1+t^2} dt, \sin x=\frac{2t}{1+t^2}[/tex]
[tex]t=\tan \frac{x}{2}[/tex] => Замествам х с 0 и с пи/2 и получавам следния интеграл:
[tex]\int_0^1\frac{2}{\left(4 + 4*\frac{2t}{1+t^2} +\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}\right)(1+t^2)}dt = 2\int_0^1\frac{1+t^2}{4+8t^2+4t^4+8t+8t^3+4t^2}dt=[/tex]
[tex]=\int_0^1 \frac{1+t^2}{2t^4+4t^3+6t^2+4t+2} dt[/tex]
Оттук нататък опитах да разделя интеграла на 2, но пак не получих каквото трябва...

Беше написано ужасно и нищо не се четеше, затова го пооправих малко и имаше малка изчислителна грешка, която поправих.
Няма да разделяш интеграла на две. В знаменателя на последния интеграл изнеси множител 2 и ще получиш формула за съкратено умножение, а именно: [tex](t^2+t+1)^2[/tex]. Вътре в скобите прибави и извади [tex]\frac{1}{2 }[/tex], за да допълниш до точен квадрат =>[tex]\left[\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4 }\right]^2[/tex] и положи [tex]u=t+\frac{1}{2 }[/tex], след което раздели интеграла на две и ще получиш два съвсем лесни интеграла .

[just_me]

Мерси много
P.S.: Не знам до колко са лесни получените 2 интеграла след разделянето, но аз все още се мъча да ги реша... уви, неуспешно до този момент