от изпит

[perfect_creatur]

Ако някой може да помогне за някоя от тези задачи ще съм му мн благодарен както и колегите ми .
ето линк към втория и третия лист http://photo-zona.net/images/user34560/ ... 82_nnn.jpg http://photo-zona.net/images/user34560/ ... C00796.jpg

[martin123456]

нещо 2ри и 3ти лист не се виждат цели

[perfect_creatur]

да горе сложих линк към тях че нещо не мога да ги наместя

[martin123456]

за 3ти лист последна задача, т.е. http://photo-zona.net/images/user34560/ ... C00796.jpg
първо ще докажем две тъждества
1) [tex]\sin{x}+\sin{2x}+\ldots+\sin{nx}=\frac{\sin{\frac{(n+1)x}{2}}\sin{\frac{nx}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}}[/tex]
2) [tex]\cos{x}+\cos{2x}+\ldots+\cos{nx}=\frac{\cos{\frac{(n+1)x}{2}}\sin{\frac{nx}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}}[/tex]
за [tex]x=\pi k[/tex], [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex] то първата съма е 0, а ако [tex]x=\frac{\pi}{2}+\pi k[/tex], втората е 0.
считаме че не сме в тези гранични случаи.
Нека [tex]z=\cos{x}+i\sin{x}[/tex], от формулата на моавър следва [tex]z^n=\cos{nx}+i\sin{nx}[/tex], за k=0,1,...,n сумираме това равенство и следва [tex]1+z+z^2+\ldots+z^n=\sum_{k=0}^{n}{\cos{kx}}+i\sum_{k=0}^{n}{\sin{kx}}[/tex]. лявата страна е [tex]\frac{1-z^{n+1}}{1-z}=\frac{(1-z^{n+1})(1-\overline{z})}{|1-\overline{z}|^2}=\frac{1-z^{n+1}-\overline{z}+z^{n+1}\overline{z}}{2(1-\cos{x})}=\frac{1-z^{n+1}-\overline{z}+z^n}{2(1-\cos{x})}[/tex]. сега като приравним имагинерните и реалните части и с малко пробразуване следват исканите равенства.

сега към задачата
ще използвам други означения, [tex]a_1=a[/tex] и [tex]\varphi=d[/tex]
[tex]\sin^2{x}=\frac{1-\cos{2x}}{2}[/tex], значи сумата става [tex]\frac{n- \cos{2a_1}-\ldots-\cos{2a_n}}{2}[/tex]. ще търсим само [tex]\cos2a_1+\ldots+\cos2a_n[/tex] и като го намерим ще заместим в горното.
така новото което търсим е [tex]\cos2a_1+\ldots+\cos2a_n=\cos{2a}+\cos{2(a+d)}+\ldots+\cos{2(a+(n-1)d)}[/tex]използвайки формулата за сума от косинуси получаваме [tex]\cos{2a}+(\cos{2a}\cos{2d}-\sin{2a}\sin{2d})+\ldots+(\cos{2a}\cos{2(n-1)d}-\sin{2a}\sin{2(n-1)d})[/tex][tex]=\cos{2a}(1+\cos{2d}+\ldots+\cos{2(n-1)d})-\sin2a(\sin{2d}+\ldots+\sin{{2(n-1)d})[/tex]
сега заместваме във формула 2) за първите скоби с [tex]x=2d[/tex] и [tex]n:=n-1[/tex]
за вторите - същото

[martin123456]

не съм мн сигурен, но все пак
за 1) от http://photo-zona.net/images/user34560/ ... 82_nnn.jpg
разглеждаме функцията [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex], [tex]x \in [1,2][/tex]. знаем че [tex]\exist \int_{1}^{2}{\sqrt{x}}[/tex]
разделяме интервала [tex][1,2][/tex] на [tex]n[/tex] части с точките [tex]x_0=1, x_1=1+\frac{1}{n}, x_2=1+\frac{2}{n},\ldots,x_n=2[/tex].
римановата интегрална сума за този интервал с това разделяне е от вида [tex]\sigma=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\x_i)[/tex]. избираме [tex]\x_i=1+\frac{i}{n}[/tex].
получаваме че [tex]\int_{1}^{2}{\sqrt{x}}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(1+\frac{i}{n})[/tex]

[martin123456]

зад 3 от http://photo-zona.net/images/user34560/ ... 82_nnn.jpg
а)
[tex]\lim_{x \rightarrow a,\hspace{2mm} x <a}f(x)=\lim_{x \rightarrow a,\hspace{2mm} x <a}0=0[/tex], защото щом x<a, то f(x) от деф е 0
[tex]\lim_{x \rightarrow a,\hspace{2mm} x >a}f(x)=\lim_{x \rightarrow a,\hspace{2mm} x>a}0=0[/tex], защото щом x>a, то f(x) от деф е 0
[tex]f(a)=(a-a)^2(b-a)^2=0[/tex], защото щом x=a взимам [tex]f(x)=(x-a)^2(b-x)^2[/tex]
значи има и дясната и лявата граница, те са равни на стойността на функцията в а, значи непрекъсната в а
Аналогично за b

b)
ще покажем за a. за b е аналогичо
интересуваме се дали съществува [tex]\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/tex]. предполагаме че ще е 0. избираме си произволно [tex]\epsilon>0[/tex]. търсим число [tex]\delta > 0[/tex], че oт [tex]|h|<\delta[/tex]=>[tex]|\frac{f(a+h)-f(a)}{h}|<\epsilon[/tex]. неравенството е еквивалентно на [tex]|\frac{f(a+h)}{h}|<\epsilon[/tex].
разглеждаме 2 случая
1) [tex]h > 0[/tex] и [tex]h<\delta[/tex]: искаме [tex]\frac{(h)^2(b-a-h)^2}{h}<\epsilon[/tex], [tex]h(b-a-h)^2<\epsilon[/tex], [tex]h(b-a)^2-2h^2(b-a)+h^3<\epsilon[/tex], [tex]g(h)=-\epsilon+h(b-a)^2-2h^2(b-a)+h^3<0[/tex]. трябва да док че това неравенсто е изпълнено за [tex]h \in (0,\delta)[/tex] за подходящо [tex]\delta[/tex]. на отвратителните чертежи са изобразени 4те жъзможни случая за графиката. червената права е ординатата и стойността на функцията в 0 е [tex]g(0)=-\epsilon ,< 0[/tex]. разглеждаме всяка графика поотделно. 1)2)3) нека корените в нарастващ ред са [tex]x_{1,2,3}[/tex] тогава избираме [tex]\delta \in (0, x_1)[/tex]. 4) избираме [tex]\delta \in (0, x_3)[/tex]
2) [tex]h < 0[/tex] и [tex]h>-\delta[/tex]: искаме [tex]0<\epsilon[/tex]. това винаги е вярно

[martin123456]

задача 3 от viewtopic.php?f=65&t=559&p=2485#p2485
a)
[tex]\int_{-6}^{6}f(x)dx=[/tex]
[tex]\int_{-6}^{-5}f(x)dx+\int_{-5}^{-4}f(x)dx+\int_{-4}^{3}f(x)dx+\int_{-3}^{-2}f(x)dx+\int_{-2}^{-1}f(x)dx+\int_{-1}^{0}f(x)dx[/tex][tex]+\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{1}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{3}f(x)dx+\int_{3}^{4}f(x)dx+\int_{4}^{5}f(x)dx+\int_{5}^{6}f(x)dx[/tex].така разделен, всеки интеграл е [tex]\int_{i}^{i+1}(-1)^ixdx=(-1)^i\frac{2i+1}{2}[/tex] и просто замести

[perfect_creatur]

благодаря много 10x много помогна