Задача от изпит па анализ I СУ

[tsuki114]

Моля, които може да помогне:

Нека ф-ята f(x) е непрекъсната в [0,[tex]+\infty[/tex] ), limf(x)=L при х->[tex]+\infty[/tex] и f(0)<L. Док,че f(x) е ограничена в [0;[tex]+\infty[/tex] ) и има най-малката с-т в [0;[tex]+\infty[/tex] ).

Много ми прилича на втора таеорема на Вайерщрас, но проблема е че интервала не е затворен [0,[tex]+\infty[/tex]).

[martin123456]

f има граница в безкрайност=> [tex]\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=L[/tex]=>[tex]\forall \epsilon > 0 \exists N:\hspace{2mm} x>N \rightarrow |f(x)-L|<\epsilon[/tex]

a) ограничена
за фиксирано [tex]\epsilon_0[/tex] при [tex]x>N_0[/tex] [tex]f(x) \in (L-\epsilon_0, L+\epsilon_0)[/tex]. от една от т-мите за непрекъснатост следва че за [tex]x \in [0,N_0][/tex] [tex]f(x)[/tex] е ограничена. обединяваме тези 2 резултата и следва ограничеността.
б) НМС
от друга т-ма за непрекъснатите в затворен интервал функции следва [tex]f(x)[/tex] достига своята НМС в [tex][0,N_0][/tex]. за [tex]x>N_0[/tex]: [tex]f(x) \in (L-\epsilon_0, L+\epsilon_0)[/tex]. проблем би било ако [tex]f(x)[/tex] приема по-малка стойност в [tex]x>N_0[/tex], отколкото в [tex]x \in [0,N_0][/tex] и освен това не достига НМС в [tex]x>N_0[/tex]. за мн малкo [tex]\epsilon_0[/tex], [tex]f(x)[/tex] е много близо до [tex]L[/tex]. от друга страна по усл [tex]f(0)<L[/tex]. оттук заключваме че НМС е в [tex][0,N_0][/tex].

[tsuki114]

Много благодаря само не мога да разбера малко доказателството за ограниченост и коя теорема точно използваш...

[martin123456]

нарича се теорема за ограниченост:ако е функция е непрекъсната в крайния и затворения интервал [a,b], то тя е ограничена там. за доказателството и се ползва т-ма на Кантор. не знам вие как сте я нарекли тази теорема, не знам на кой е..
колкото за доказателството. точките след 0 до [tex]N_0[/tex] и после разглеждаме точките след [tex]N_0[/tex].
в първите точки от теоремата => ограниченост
за другите точки пък имаме стойнсотите на функцията са в [tex](L-\epsilon, L+\epsilon)[/tex], т.е. пак ограничени

[tsuki114]

Да знам я..., но ако я използваме то не следва ли ограничеността веднага от нея или трябва да кажем за фиксираната точка задължително. Не мога да разбера пълвото изречение защо го правиш?

[martin123456]

не, не следва, понеже теоремата късае [a,b], а не [tex][a,\infty][/tex]
да е ограничена една функия <=> да съществува М, че |стойностите на функцията| са по малки равни на него
да е неограничена <=> за всяко М да същестува x, че неравекството |f(x)|<M да има решенение

[tsuki114]

Ясно а какво променя нещата като казваш фиксирано Ео ...

[martin123456]

Ясно а какво променя нещата като казваш фиксирано Ео ...

по деф е за всяко "е", затова го фиксирам. за него също е вярно.

[tsuki114]

Да разбрах, супер, може ли още един въпрос той е елементарен, но трябва да се аргументирам чрез дефиници защо lim(An.Bn)=- [tex]\infty[/tex] при х-> [tex]\infty[/tex] , ako limAn=1/3 при х-> [tex]\infty[/tex] и limBn=- [tex]\infty[/tex] при х-> [tex]\infty[/tex]. Как ще бъде най-правилно. Пак идва въпроса, че едната редица клони към безкрайност, иначе ако и двете са сходящи е лесно.
Знам дефинициите за безкрайна редица и за сходяща, но не мога да ги съчетая...

[martin123456]

търсим [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}A_nB_n[/tex], aко [tex](1)\lim_{n \rightarrow \infty}A_n=\frac{1}{3}[/tex] и [tex](2)\lim_{n \rightarrow \infty}B_n = -\infty[/tex].
[tex](1)[/tex]=>[tex]\forall \epsilon>0 \exists \nu:\hspace{2mm}\forall n>\nu \rightarrow |a_n-\frac{1}{3}|<\epsilon[/tex]
[tex](2)[/tex]=>[tex]\forall A \exists \nu:\hspace{2mm}n>\nu \rightarrow a_n<A[/tex]

фиксираме едно [tex]A[/tex], тъй като ще ползваме деф (2) за да док твърдението - [tex]A_0[/tex].
фиксираме си едно [tex]\epsilon_0[/tex]: от (1) [tex]A_n \in (\epsilon_0-\frac{1}{3}, \epsilon_0+\frac{1}{3})[/tex] за [tex]n>\nu_{01}[/tex]
oт (2) за редицата [tex]B_n[/tex]: [tex]\exists \nu_0:\hspace{2mm}n>\nu_{02} \rightarrow B_n <\frac{A_0}{\epsilon_0+\frac{1}{3}}[/tex]
значи горните 2 реда са изпълнени за [tex]\nu > max(\nu_{01},\nu_{02})[/tex]. тогава за [tex]n > max(\nu_{01},\nu_{02})[/tex] е вярно: [tex]A_nB_n <A_0[/tex]. така показвахме че за произволно [tex]A_0[/tex] можем да намерим [tex]\nu[/tex], че [tex]n>\nu[/tex]=>[tex]A_nB_n < A_0[/tex].

[tsuki114]

Благодаря, това се казва пълно доказателство