suma na stepenen red

[Plchee]

stepenenred.JPG (4.29 KiB) Прегледано 333 пъти

stepenenred.JPG (4.29 KiB) Прегледано 333 пъти

[Plchee]

nujno li e da obrazuvame an+1/an

[Добромир Глухаров]

[tex]\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{4n+3}}{2n+1}=x\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n(x^2)^{2n+1}}{2n+1}=x.arctg(x^2)[/tex]

[tex]\lim_{n\to+\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{2n+3}x^4<1 \ \Rightarrow \ |x|<1[/tex]

[tex]x=\pm 1[/tex] - редът е алтернативен и [tex]\lim_{n\to+\infty}u_n=0 \ \Rightarrow \[/tex]редът е сходящ.

Окончателно редът е сходящ за [tex]x \in [-1;1][/tex].

[Plchee]

blagodarq ti mnogo! znachi trqq nau4a vsi4ki formuli naizust

[Добромир Глухаров]

blagodarq ti mnogo! znachi trqq nau4a vsi4ki formuli naizust

[tex]S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}[/tex]

[tex]\frac{dS(x)}{dx}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(2n+1)x^{2n}}{2n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n=\frac{1}{1-(-x^2)}=\frac{1}{1+x^2}[/tex]

[tex]S(x)=\int_{}^{ } \frac{dS(x)}{dx}dx=\int_{}^{ }\frac{dx}{1+x^2}=arctg(x)[/tex]