Граници на редици

[straight_sh]

Някой може ли да ми помогне с тези граници и да ми обясни изобщо как се решават.
Благодаря предварително;)


lim n->[tex]\infty[/tex] ([tex]\frac{1}{2 }[/tex] +[tex]\frac{3}{2^{2}[/tex] +...+[tex]\frac{2n-1}{2^n }[/tex])


lim n->[tex]\infty[/tex][tex]\sum_{k=1}^{n }[/tex] [tex]\frac{1}{k(k+1) }[/tex]

[pipi langstrump]

За първата виж тук - viewtopic.php?f=65&t=455
Другата е лесна - представяш [tex]\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}[/tex] , развиваш сумата и съкращаваш каквото трябва.После правиш граничен преход.

[Mark]

[tex]\lim_{n\to\infty} \sum_{v=1}^{n} \frac{2v-1}{2^v}=\sum_{v=1}^{\infty} \frac{2v-1}{2^{v}}=\sum_{v=1}^{\infty} \frac{v}{2^{v-1}}-\sum_{v=1}^{\infty} \frac{1}{2^{v}}=\sum_{v=1}^{\infty} \frac{v}{2^{v-1}}-1=4-1=3[/tex]
[tex]\sum_{v=0}^{\infty} x^{v}=\frac{1}{1-x} , \frac{d}{dx}\sum_{v=0}^{\infty} x^{v}=\sum_{v=0}^{\infty}vx^{v-1}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{1-x})=\frac{1}{(1-x)^2}[/tex]