Криволинейни и Двойни Интеграли!

[Ati]

1. [tex]\int_{L}^{ }(3x-2y)dl[/tex] където L е частта от еволвентата на окръжността x=t.sint+cost, y=sint-tcost t [tex]\in[/tex] [0;[tex]\pi/2[/tex]]

ОТГ: [tex]\pi^2/2 + 9\pi/2 -15[/tex]

2. Да се промени редът на интегриране:

[tex]\int_{-2}^{2 }[/tex][[tex]\int_{y^2-2y-3}^{1-2y }[/tex]f(x,y)dx ]dy

3. [tex]\int_{}^{ } \int_{D}^{ }[/tex]cos(x+y)dxdy, където D e областта, ограничена от правите x=0 y=x и у=[tex]\pi[/tex]

ОТГ:-2

4.[tex]\int_{L}^{ }[/tex](xdy-ydx)/[tex](x^2+y^2)[/tex] , където L е окръжността с център точка (0.0) и радиус 1, описана по посока, обратна на часовниковата стрелка. ОТГ: 2[tex]\pi[/tex]

Ако има хора, на който им е интересно, ще се радвам да помогнат Благодаря предварително !

[vel.angelov]

Ще помогна за първата:
[tex]L:[/tex]
[tex]x=tsint+cost[/tex]
[tex]y=sint-tcost[/tex]
Кривата е непрекъсната за [tex]t\in [0,\frac{\pi }{2 } ][/tex]
[tex]x'=tcost[/tex]
[tex]y'=tsint[/tex]
[tex]\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}=|t|[/tex]
[tex]=>I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2 } } (3tsint+3cost-2sint+2tcost)|t|dt[/tex]
но [tex]t>0[/tex] откъдето [tex]|t|=t[/tex]
след заместване се получават интеграли, които лесно се получават по части.
Отговора е същия като дадения.

[kerry]

На втората задача най-важен е чертежа.

Oblast.JPG (14.18 KiB) Прегледано 234 пъти

След това е лесно.

[tex]\int_{-4}^{-3} \ \ \ \ \int_{1-\sqrt{x+4}}^{1+sqrt{x+4}} \ \ f(x,y) \ \ dydx \ \ \ \ + \ \ \ \ \int_{-3}^{5} \ \ \ \ \int_{1-\sqrt{x+4}}^{\frac{1-x}{2}} \ \ \ \ f(x,y) \ \ dydx[/tex]