Въпрос: Изследване за сходимост

[micobg]

Ето за какво става въпрос:
Да се изследва за сходимост интегралът [tex]\int_{0}^{5 } \frac{1}{x^2 + \sqrt[3]{x} }dx[/tex].

Решение:
Особената точка е 0.
При [tex]x\in(0, 5][/tex]:
[tex]0 < \frac{1}{x^2 + \sqrt[3]{x} } < \frac{1}{\sqrt[3]{x} } = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} }[/tex]
Но [tex]\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} }[/tex] е сходящ според първият основен интеграл, използван за сравняване (по-долу пише какво имам предвид).
[tex]=> \int_{0}^{5 } \frac{1}{x^2 + \sqrt[3]{x} }dx[/tex] е сходящ.

Хубаво, ама ето го и въпросният основен интеграл за сравняване, който съм записал:
[tex]\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^\lambda}dx[/tex] и [tex]\int_{-\infty}^{b} \frac{1}{x^\lambda}dx[/tex]
са сходящи, ако [tex]\lambda > 1[/tex], и са разходящи, ако [tex]\lambda \le 1[/tex] (за [tex]a > 0[/tex] и [tex]b < 0[/tex]).

Е, аз ли не схващам или това, което е написано като решение на задачата е противоположно на твърдението? Работата е там, че не съм объркал твърдението, защото го открих и в един учебник същото, а пък от друга страна сме решили 3 идентични задачи и все е така. Абсурд е да са грешни и трите.

[int]

Интегралът, който смяташ е от друг вид. Принципно има два основни несобствени интеграла, с които сравняваме всички останали: [tex]\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}[/tex] и [tex]\int_0^1\frac{dx}{x^p}.[/tex] Стойностите на [tex]p[/tex], при които тези интеграли са сходящи или разходящи се намират чрез непсоредственото им пресмятане.

[micobg]

Да. Всъщност е от вида:
[tex]\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^\lambda}dx[/tex] и [tex]\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^\lambda}dx[/tex]
са сходящи, ако [tex]\lambda < 1[/tex], и са разходящи, ако [tex]\lambda \ge 1[/tex].
Поне така съм го написал.

Много ме напече слънцето. Добре, че се скри вече, че иначе нищо няма да науча.

[int]

Да. Всъщност е от вида:
[tex]\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^\lambda}dx[/tex] и [tex]\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^\lambda}dx[/tex]
са сходящи, ако [tex]\lambda < 1[/tex], и са разходящи, ако [tex]\lambda \ge 1[/tex].
Поне така съм го написал.

То тези два интеграла с проста смяна на променливата, например [tex]t=\frac{x-a}{b-a},[/tex] се свеждат до един от тези, които по-горе написах, умножени по константа. Така че на практика те са от един и същи вид.

А иначе сам можеш сам да да разбереш това, което си написал, като приложиш дефиницията:[tex]\int_0^1\frac{dx}{x^p}=\lim_{\epsilon\to 0}\int_\epsilon^1\frac{dx}{x^p}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1-\epsilon^{1-p}}{1-p}=\{\frac{1}{1-p}, 1-p>0 \\ \infty, 1-p<0.[/tex] При p=1 имаме интеграл от 1/х. Получаваме логаритъм, който клони към безкрайност, когато аргумента му клони към нула. Тогава за [tex]p\ge 1[/tex] интегралът е разходящ, а, за [tex]p<1[/tex] сходящ. Аналогично се намират стойностите, при които [tex]\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}[/tex] е сходящ или разходящ.