Интеграл зависещ от параметър

[int]

Чрез диференциране по параметъра пресметнете [tex]\int_0^\pi\ln(1-2a\cos x+a^2)dx[/tex]

[vel.angelov]

имаш ли решение да споделиш?

[int]

Привет. Не, не разполагам с решение, а и все още не съм достигнал до някакво (верно е, че и не съм го мислил много, но все пак се опря при първо усмотрение). Именно за това съм постнал задачката.

[Mark]

Аз предлагам степенни редове, защото след диференциране по параметъра трябва и полагане([tex]t= tg\frac{x}{2}[/tex]), след което функцията [tex]I(a)[/tex] се оказва константа при [tex]|a|<1[/tex] и при [tex]|a|>1[/tex] решението е имитация на следващото.
И така [tex]\frac{a\sin{x}}{1-2a\cos{x}+a^2}=\sum_{v=1}^{\infty} a^{v}\sin{xv}[/tex], като [tex]|a|<1[/tex].Това тъждество се доказва елементарно с освобождаване от знаменател, а може да се използва и направо [tex]\sum_{v=1}^{n-1}a^{v}\sin{vx}=\frac{a\sin{x}-a^{n}sin{nx}+a^{n+1}\sin{(n-1)x}}{1-2a\cos{x}+a^{2}}[/tex](което следва по индукция).Сега редът [tex]\sum_{v=1}^{\infty} a^{v}\sin{xv}[/tex] е равномерно сходящ за [tex]|a|<1[/tex](Дирихле) и след интегриране се получава[tex]\ln(1-2a\cos{x}+a^2)=-2\sum_{v=1}^{\infty} \frac{a^{v}\cos{xv}}{v}[/tex], като последният ред е равномерно сходящ при [tex]|a|<1[/tex](Вайерщрас).Интегрирайки от нула до пи следва [tex]\int_{0}^{\pi} \ln(1-2a\cos{x}+a^{2})=0[/tex] при [tex]|a|<1[/tex].Нека сега [tex]|a|>1[/tex], [tex]\ln(1-2a\cos{x}+a^2)=2\ln|a|+\ln(1-\frac{2\cos{x}}{a}+\frac{1}{a^{2}})[/tex] след интегриране се получава [tex]I(a)=2\pi\ln|a|+I(\frac{1}{a})[/tex], но [tex]I(\frac{1}{a})=0[/tex] и следователно [tex]I(a)=2\pi\ln|a|[/tex].Случаят [tex]|a|=1[/tex] е тривиален.

[int]

В действителност обаче, от решението чрез диференциране по параметъра, се изкарва стойността на интеграла и за |a|>1, без да се преминава през теория на редовете. В случай на интерес съм готов да разпиша, но може би просто ти е убягнало това наблюдение. Интересното на този пример е, че всъщност правилото на Лайбниц за диференциране под знака на интеграла не е валидно във всички точки на правоъгълника 0≤x≤п, |a|≤c, защото в точките (0, 1) и (п, -1) функцията [tex]f(x,a)=\ln(1-2a cos x+a^2),[/tex] разглеждана като функция на две променливи се прекъсва. Поради тази причина, производната по параметъра също се оказва прекъсната и от там възникват случаите за а. В действителност във всеки правоъгълник лежащ в ивицата 0≤x≤п, който не съдържа гореспоменатите точки, интеграла се смята с правилото на Лайбниц. Между другото тия суми, които казваш че следват по индукция, всъщност доста дълго се извеждат по принцип. Иначе хитро решение, браво, то на практика заобикаля теорията на интегралите зависещи от параметър.