Как се решава интеграла корен(1+4t^{2})

[mathinvalidnik]

абе хора как се решава [tex]\int_{}^{ } \sqrt{1+4t^{2}} dt[/tex]

аз правя така:

[tex]\int_{}^{ } \sqrt{t^{2}(4+\frac{1}{t^{2}})} dt[/tex] <=> [tex]\int_{}^{ } t.\sqrt{4+\frac{1}{t^{2}}} dt[/tex] <=>[tex]\frac{1}{2}.\int_{}^{ } \sqrt{4+\frac{1}{t^{2}}} dt^{2}[/tex] И от тука нататък не се сещам как ще стане

[stflyfisher]

абе хора как се решава [tex]\int_{}^{ } \sqrt{1+4t^{2}} dt[/tex]

аз правя така:

[tex]\int_{}^{ } \sqrt{t^{2}(4+\frac{1}{t^{2}})} dt[/tex] <=> [tex]\int_{}^{ } t.\sqrt{4+\frac{1}{t^{2}}} dt[/tex] <=>[tex]\frac{1}{2}.\int_{}^{ } \sqrt{4+\frac{1}{t^{2}}} dt^{2}[/tex] И от тука нататък не се сещам как ще стане

Така няма да стане.
Първо поожи: [tex]2t=z=>d2t=dz=>[/tex]


[tex]\int_{}^{ } \sqrt{1+4t^{2}} dt= \frac{1}{2}\int_{}^{ } \sqrt{1+(2t)^{2}} d2t=\frac{1}{2}\int_{}^{ } \sqrt{1+z^{2}} dz[/tex]
[tex]\frac{1}{2}\int_{}^{ } \sqrt{1+z^{2}} dz[/tex] се решавав:

I-начин: Цък/ виж 6.1.2/2

II-начин: чрез интегриране по части и достигане до първоначалния интеграл.

[mathinvalidnik]

значи със инт. по части стигам до:

...[tex]\frac{1}{2}\int_{}^{ } \sqrt{1+z^{2}} dz = \frac{1}{2} (z.\sqrt{1+z^{2}}-\int_{}^{ }zd\sqrt{1+z^{2}} )=\frac{1}{2} (z.\sqrt{1+z^{2}}-\int_{}^{ }z.\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}} dz})[/tex].По принцип знам,че някъде в изразявнето трябва да ми се получи интеграла в лявата част на равенството ида го прехвърля и да ги събера и да остане нещо без интеграл в дясната част,но тук не виждам как да го направя .

с другото полагане стигам до :
[tex]\frac{1}{2}\int_{}^{ }\sqrt{1+z^{2}}dz , z=a.tg\beta , dz = a.\frac{1}{cos^{2}\beta}dt[/tex] и след сметки и преобразувания ситгам до:

[tex]\frac{a}{2}.\int_{}^{ } \sqrt({1+a^{2}.tg^{2}\beta) dtg\beta}[/tex]

много объкрани ми се струват честно казано,от по -прост пример стигам до някакви по -сложни.Ще съм ти благодарен ако ми го решиш.Не ми трябва за домашно ил нещо такова,просто не ги схващам.

[stflyfisher]

значи със инт. по части стигам до:

...[tex]\frac{1}{2}\int_{}^{ } \sqrt{1+z^{2}} dz = \frac{1}{2} (z.\sqrt{1+z^{2}}-\int_{}^{ }zd\sqrt{1+z^{2}} )=\frac{1}{2} (z.\sqrt{1+z^{2}}-\int_{}^{ }z.\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}} dz})[/tex].По принцип знам,че някъде в изразявнето трябва да ми се получи интеграла в лявата част на равенството ида го прехвърля и да ги събера и да остане нещо без интеграл в дясната част,но тук не виждам как да го направя .

[tex]\frac{1}{2} (z.\sqrt{1+z^{2}}-\int_{}^{ }z.\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}} dz})=\frac{1}{2} (z.\sqrt{1+z^{2}}-\int_{}^{ }\frac{z^2}{\sqrt{1+z^{2}} }dz)=\frac{1}{2} (z.\sqrt{1+z^{2}}-\int_{}^{ }\frac{1+z^2-1}{\sqrt{1+z^{2}}} dz)=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2} (z.\sqrt{1+z^{2}}-\int_{}^{ }\frac{1+z^2}{\sqrt{1+z^{2}}}dz+\int\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}} }dz)=\frac{1}{2} (z.\sqrt{1+z^{2}}-\int_{}^{ }\frac{(\sqrt{1+z^2})^2}{\sqrt{1+z^{2}}}dz+\int\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}} }dz)=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2} (z.\sqrt{1+z^{2}}-\int_{}^{ }\sqrt{1+z^2}dz+\int\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}} }dz)=...[/tex]

[mathinvalidnik]

Да,тва е много хитро.Благодаря ти!

[stflyfisher]

.

с другото полагане стигам до :
[tex]\frac{1}{2}\int_{}^{ }\sqrt{1+z^{2}}dz , z=a.tg\beta , dz = a.\frac{1}{cos^{2}\beta}dt[/tex] и след сметки и преобразувания ситгам до:
другото полагане стигам до :
[tex]\frac{1}{2}\int_{}^{ }\sqrt{1+z^{2}}dz , z=a.tg\beta , dz = a.\frac{1}{cos^{2}\beta}dt[/tex] и след сметки и преобразувания ситгам до:

[tex]\frac{a}{2}.\int_{}^{ } \sqrt({1+a^{2}.tg^{2}\beta) dtg\beta}[/tex]

много объкрани ми се струват честно казано,от по -прост пример стигам до някакви по -сложни.Ще съм ти благодарен ако ми го решиш.Не ми трябва за домашно ил нещо такова,просто не ги схващам.

[tex]\frac{1}{2}\int_{}^{ }\sqrt{1+z^{2}}dz=[/tex]
[tex]a=1=>[/tex]
[tex]z=tg u; dz=\frac{1}{cos^2 x}du,[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\int_{}^{ }\sqrt{1+z^{2}}dz=\frac{1}{2}\int_{}^{ }\sqrt{1+tg^2 u}\frac{1}{cos^2 x}dz=[/tex]
но

[tex]1+tg^2 \alpha =\frac{1}{cos^2 \alpha }[/tex]

[tex]=\int \frac{1}{cos^3 u}du=...[/tex]

[mathinvalidnik]

човече няма идея как става
[tex]\int_{}^{ } \frac{1}{cos^{3}x}dx[/tex]

Гледах как би трябвало да стане,с някаква субституция от сорта на : [tex]x=2arctg(t) , t = tg\frac{x}{2}[/tex] и след това се използва ,че [tex]cosx=\frac{1-tg^{2}x}{1+tg^{2}x}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}[/tex] ама след това като видя,че се вдигна на 3-та и нещо ми писва

[pipi langstrump]

Полага се x=0.5sinh t и се използват формулите
,

[mathinvalidnik]

Искам да попитам нещо.Когато пресмятам лице на някаква равнинна фигура(с двоен интеграл) и отговорът накрая е с отрицателен знак,тогава абсолютната му стойност ли вземам или просто имам грешка в сметките,защото се сещам,че асистентът ни беше казвал за нещо,че дори накрая да се получи отрицателна стойност взимаме абсолютната му стойност.