Една задача от редове

[mathinvalidnik]

да се намери сумата на реда :

[tex]\sum_{0}^{\infty}{}^{} \frac{2^{n}.x^{3n}}{n!}[/tex]

Значи ако кажем ,че S(x) му е сумата ,то [tex]S(x)=\sum_{0}^{\infty}{}^{} \frac{2^{n}.x^{3n}}{n!}=1+\frac{2.x^{3}}{1!}+\frac{4.x^{6}}{2!}+\frac{8.x^{9}}{3!}+....+\frac{2^{n}.x^{3n}}{n!}+...[/tex]

аз доколкото разбрах трябва чрез диференциране и интегриране някак си да го докараме до някаква прогресия ,да кажем Геометрична и след това интегрираме ГП-то и се получава някакъв израз и т.н... но просто тази сума нз как да си я доакрам до някаква прогресия .Ако има някакво значение радиусът на сходимост е [tex]\infty[/tex], т.е. ненулев ,което значи ,че редът е интегруем и т.н. ,но ако може по някакъв друг начин да се ползва..

ако изтървем първият член се получава нещо,което излгежда на ГП с частно [tex]\frac{2.x^{n+3}}{(n+1)}[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^nx^{3n}}{n!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\(2x^3\)^n}{n!}=e^{2x^3}[/tex]

[tex]y=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}[/tex]

[tex]y'=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}[/tex]

[tex]y'=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}=y[/tex]

Имаме диференциалното уравнение [tex]y'=y \Rightarrow y=e^x[/tex]

Така виждаме, че сумата от задачата може да се представи чрез показателна функция с основа [tex]e[/tex].

[mathinvalidnik]

Признавам,че нищо не схванах.от вторият ред надолу.

[mathinvalidnik]

няма ли някакъв по-баламски начин , юото си признавам,че от два ден ги преглеждам,а точно това със сумите от 1 ден и просто не разбирам написаното.

[mkmarinov]

Redut ti moje da se zapishe kato
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x^3)^n}{n!}[/tex]
[tex]e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}[/tex], osnoven red i 'se znae'.
t.e. tvoqta suma e [tex]e^{2x^3}[/tex]