3 Въпросчета

[zaiche_baiche]

Значии имам изпит в скоро време и имам няколко въпроса:
1.Как се доказва че дадена функция е диференцируема в точка (хo,yo)
2.Как се доказва дали дадена функция е непрекъсната в точка (хо,yo)
3.Защо за функцията f(x,y)=[tex]\frac{(2 x + y)^3 + x^2 + y^2}{x^2 + y^2}[/tex] , f(0,0)=1
1.Тук си нямам идея какво да правя
2.Тук намерих следното:
че е непрекъсната ако е изпълнено
[tex]\lim_{x\to\0,y\to\1} f(x) =[/tex]f(xo,y0)
но не съм сигурна за това...
о и 1 са xo i yo понеже не измислих как да ги напиша...
3.И тук не се връзва нещо

[Добромир Глухаров]

1.)
[tex]\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \|_{(x=x_0,y=y_0)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}[/tex]

[tex]\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \|_{(x=x_0,y=y_0)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}[/tex]

Ако тези две частни производни съществуват и са непрекъснати в т. [tex]A(x_0,y_0)[/tex], то [tex]f[/tex] е диференцируема в т. [tex]A[/tex]

[tex]3.)[/tex]
[tex]f(x,y)=\frac{x^3\(2+\frac{y}{x}\)^3}{x^2\(1+\frac{y^2}{x^2}\)}+1=x.\frac{\(2+\frac{y}{x}\)^3}{1+\(\frac{y}{x}\)^2}+1[/tex]

В зависимост от траекторията, по която т. [tex]M(x,y)[/tex] клони към [tex]A(0,0)[/tex], получаваме различни стойности за [tex]\frac{y}{x}[/tex], но винаги знаменателят е положителен. Понеже [tex]x\to 0[/tex], първото събираемо също клони към нула. [tex]\Rightarrow f(x,y)\to 1[/tex].

[to6eto_bs]

1.)
[tex]\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \|_{(x=x_0,y=y_0)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}[/tex]

[tex]\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \|_{(x=x_0,y=y_0)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}[/tex]

Ако тези две частни производни съществуват и са непрекъснати в т. [tex]A(x_0,y_0)[/tex], то [tex]f[/tex] е диференцируема в т. [tex]A[/tex]

[tex]3.)[/tex]
[tex]f(x,y)=\frac{x^3\(2+\frac{y}{x}\)^3}{x^2\(1+\frac{y^2}{x^2}\)}+1=x.\frac{\(2+\frac{y}{x}\)^3}{1+\(\frac{y}{x}\)^2}+1[/tex]

В зависимост от траекторията, по която т. [tex]M(x,y)[/tex] клони към [tex]A(0,0)[/tex], получаваме различни стойности за [tex]\frac{y}{x}[/tex], но винаги знаменателят е положителен. Понеже [tex]x\to 0[/tex], първото събираемо също клони към нула. [tex]\Rightarrow f(x,y)\to 1[/tex].

Здравейте!
Нека ни е дадена функцията f(x,y)=xy/(x^2+y^2) и f(0,0)=0.Функцията е диференцируема частно относно х и относно у в точка (0,0).f ' x (0,0)=0 и f ' y (0,0)=0. Но f(x,y) не е непрекъсната в т (0,0).В този случай частните производни са непрекъснати в (0,0),а самата функция не е непрекъсната в (0,0).Тогава тя диференцируема ли е в (0,0)?

[Добромир Глухаров]

@to6eto_bs: Частните производни не съществуват в (0,0), следователно функцията не е диференцируема в тази точка.

[zaiche_baiche]

1.)
[tex]\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \|_{(x=x_0,y=y_0)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}

\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \|_{(x=x_0,y=y_0)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}[/tex]

Ако тези две частни производни съществуват и са непрекъснати в т. A(x_0,y_0), то f е диференцируема в т. A

мисля че то беше необходимо условие за диференцируемост да е непрекъснато в тази точка значи в крайна сметка трябва да направя следното:
1.проверявам за непрекъснатост с 2 отгоре което съм написала
2.Правя го това което ми показа и това е.A какво се разбира под съществува lim-eса да дава стойност различна от 0?
П.С. Благодаря засега за инфото

[Добромир Глухаров]

Лимеса може да бъде и нула. Тогава частната производна пак съществува, просто е нула.

[int]

@to6eto_bs: Частните производни не съществуват в (0,0), следователно функцията не е диференцируема в тази точка.

Туй не е съвсем верно. По-скоро е верно, че съществуват, но не са непрекъснати в (0,0).
Инак диференцируемост на функция на много променливи в точка се установява или с достатъчното условие за диференцируемост, а именно съществуване и непрекъснатост на частните производни от първи ред, по всички аргументи, или (когато частните производни съществуват, но не са непрекъснати), чрез проверка на самата дефиниция за диференцируемост, а именно тоталното нарастване в дадената точка да допуска линейно приближение по нарастванията на аргументите, с остатък клонящ към нула по-бързо от нормата на вектора на нарастването.

[int]

3.Защо за функцията f(x,y)=[tex]\frac{(2 x + y)^3 + x^2 + y^2}{x^2 + y^2}[/tex] , f(0,0)=1

Принципно ако за f(0,0) не е дадена стойност, то функцията се приема за недефинирана в точката (0,0). Ти можеш да си сложиш каквато искаш стойност за f(0,0), изобщо не е длъжна стойността да ти е точно 1. А във втория пример, който дадоха, идеята е да се види, че само от съществуването на частните производни на една функция изобщо не може да се съди за диференцируемостта, че даже и за непрекъснатостта и в дадена точка.