Производни - интеграли

[uninvited]

Каква е връзката между производните и интегралите? По какъв начин производните участват в решаването на интегралите? (глупав въпрос, може би.. но хич не съм наясно с тези неща, а след 2 дни имам изпит.. :X )

[prodanov]

[tex]\(\int f(x)dx\)' = f(x)[/tex]
интеграла е обратното на производна - antiderivative на англ.

[stflyfisher]

Каква е връзката между производните и интегралите? По какъв начин производните участват в решаването на интегралите? (глупав въпрос, може би.. но хич не съм наясно с тези неща, а след 2 дни имам изпит.. :X )

След 2 дни имаш изпит и задаваш такива въпроси? Достойно за бисер:-))

[uninvited]

Каква е връзката между производните и интегралите? По какъв начин производните участват в решаването на интегралите? (глупав въпрос, може би.. но хич не съм наясно с тези неща, а след 2 дни имам изпит.. :X )

След 2 дни имаш изпит и задаваш такива въпроси? Достойно за бисер:-))

Е, извинявам се, но не всички сме математици..

[int]

Всъщност въпроса е доста смислен и съдържателен. Аз подозирам, че малцина от пишещите в този форум разбират действително за какво става въпрос. В най общи линии връзката между производна и неопределен интеграл е всъщност знаменитата теорема на Нютон-Лайбниц, според която ако имате една интегруема функция по риман f в краен затворен интервал [a, b], то функцията [tex]F(x)=\int_{a}^xf(t)dt,[/tex] дефинирана за всички x от [a,b] е непрекъсната в целия интеграционен интервал и е диференцируема във всяка точка на непрекъснатост на подинтегралната функция f. При това производната и е [tex]F'(x)=f(x).[/tex]
Тази велика класическа теорема, която допуска обобщения в много направления ни дава мощно средство за пресмятане на определени интеграли, които още от най-дълбока древност са пресмятани с най различни аритметични средства. Всъщност определените интеграли са възникнали доста преди неопределените, макар у студентите да се създава впечатлението че е станало обратното. Още Архимед дори е смятал определени интеграли , със съвсем примитивни средства, и то във връзка с решаването на най-различни задачи за дължини, лица и обеми. С теоремата на Нютон-Лайбниц, пресмятането на дължини лица и обеми се свежда до намиране на примитивни на конкретни функции, свързани с геометричния обект, а по формулата на Нютон-Лайбниц, която всеки студент първокурсник би трябвало да разбира как следва от теоремата на Нютон-Лайбниц и основната теорема на интегралното смятане, да си сметне човек каквото му трябва. Не знам до колко е известно, но всички класически формули на древността за намиране на лица дължини и обеми, които се преподават в училище, като паднали от небето, всъщност се извеждат елементарно с помощта на теоремата на Нютон и Лайбниц...
Е, аз май се отлеснах малко, но може и да е полезно, ако някой например се наеме да покаже как може човек да си изведе формулата за лице на триъгълник или лице и дължина на окръжност, за обем на пирамида сфера и тн. Това си е добро упражнение за изпит. Успех на учещите!

[mkmarinov]

ОР има изпит след два дни, а цяла година не е пипал, та ме съмнява да запомни теорията на Нютон от Лайпцих.

[uninvited]

Бисер или не.. С решаване на примери от интернет и учебника за около 10тина дни успях да се подготвя достатъчно, че да си взема изпита.