Редици

[qwerradi]

Ще помоля за малко помощ за следните две задачи:

[martin123456]

1
[tex]a_n=\frac{7^n}{n!}[/tex]. явно всички членове са положителни
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7}{n+1}[/tex]. следователно за [tex]n>6[/tex] редицата е строго намаляваща
тъй като е ограничена отдолу от 0, то тя е сходяща
нека [tex]l[/tex] и е границата, значи от [tex]a_{n+1}=\frac{7}{n+1}a_n[/tex]=>[tex]l(1-\frac{7}{n+1}) \rightarrow 0[/tex]. ирзазът в скобите клони към 1, значи [tex]l=0[/tex]

[martin123456]

2
[tex]a_{n+1}=\sqrt{4+3a_n}[/tex], [tex]a_1 \in (0,4)[/tex]
от дефиницията следва че всички членове са положителни
неравенството [tex]a_{n+1}>a_n[/tex]<=>[tex]\sqrt{4+3a_n}>a_n[/tex]<=>[tex]4+3a_n>a^2_n[/tex]<=>[tex]a^2_n-3a_n-4<0[/tex]<=>[tex](a_n+1)(a_n-4)<0[/tex]<=>[tex]a_n \in (-1,4)[/tex]. но [tex]a_n>0[/tex], така че <=>[tex]a_n<4[/tex]. ще док по индукция че това е вярно. за [tex]a_1[/tex] е вярно. допускаме че е вярно за [tex]a_n[/tex]. тогава [tex]a_{n+1}=\sqrt{4+3a_n}<\sqrt{4+3.4}=4[/tex]. и така редицата е растяща и ограничена отгоре от 4. значи е сходяща.
нека границата и е [tex]l[/tex]. значи [tex]l=\sqrt{4+3l}[/tex]<=>[tex]l_1=-1[/tex], [tex]l_2=4[/tex]. тъй като членовете са положителни не може границата да е -1. значи е 4.

[qwerradi]

Много благодаря!