Задача с индукция

[Chacho]

Пускам я тук, защото е от учебника по Диференциално и Интегрално смятане. Функции на една променлива.

Да се докаже, че за всяко k=1,2,... съществува полином Pk(x) от k+1-ва степен, за който Pk(n) = [tex]1^{k} + 2^{k} + .. + n^{k}[/tex] за всяко естествено n.


Опитах нещо такова: правя индукция по k, като за базата доказвам по индукция за n. След това правя индукционно предположение за k=i и накрая се опитвам да докажа за k=i+1 твърдението отново с индукция по n. Доста се оплетох обаче, на моменти като че ли не доказвам чрез предположенията, а просто с произволността на полинома.


В задачата не би трябвало да участва нещо повече от материала в училищния курс. Ако можете да ме насочите малко, ще съм ви благодарен!

[garion]

http://www.math.rutgers.edu/~erowland/sumsofpowers.html
тук е изведено общото представяне на сумата

[Добромир Глухаров]

[tex](p+1)^{k+1}=p^{k+1}+\(\begin{array}{c}k+1\\1\end{array}\)p^k+\(\begin{array}{c}k+1\\2\end{array}\)p^{k-1}+\cdots+\(\begin{array}{c}k+1\\k-1\end{array}\)p^2+\(\begin{array}{c}k+1\\k\end{array}\)p+1[/tex]

Това е развитие на Нютонов бином.

Разпиши го за [tex]p=1,2,3,...,n[/tex] и събери получените равенства. Ще получиш, че [tex]1^k+2^k+3^k+...+n^k[/tex] e полином от [tex](k+1)[/tex]-ва степен на [tex]n[/tex].

[Chacho]

[tex](p+1)^{k+1}=p^{k+1}+\(\begin{array}{c}k+1\\1\end{array}\)p^k+\(\begin{array}{c}k+1\\2\end{array}\)p^{k-1}+\cdots+\(\begin{array}{c}k+1\\k-1\end{array}\)p^2+\(\begin{array}{c}k+1\\k\end{array}\)p+1[/tex]

Това е развитие на Нютонов бином.

Разпиши го за [tex]p=1,2,3,...,n[/tex] и събери получените равенства. Ще получиш, че [tex]1^k+2^k+3^k+...+n^k[/tex] e полином от [tex](k+1)[/tex]-ва степен на [tex]n[/tex].

Благодаря :]