порядък на интеграл

[int]

Нека f има непрекъсната производна в интервала [0, 1].
Сметнете границата [tex]\lim_{n\to\infty}n\left(\int_0^1f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(\frac{k}{n})\right).[/tex]

[Mark]

За произволен интервал [tex][\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}][/tex] нека [tex]m_{k}=\inf\{f'(x) | x\in [\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]\}[/tex] и [tex]M_{k}=\sup\{ f'(x) | x\in [\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]\}[/tex]
Сега [tex]n\int_{0}^{1} f(x)dx-\sum_{k=1}^{n} f(\frac{k}{n})=n\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} (f(x)-f(\frac{k}{n}))dx=n\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}f'(x_{k})(x-\frac{k}{n})dx[/tex].Оценяваме последната сума както отгоре, така и отдолу и следва
[tex]\lim_{n\to\infty} n\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}f'(x_{k})(x-\frac{k}{n})dx=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx=\frac{f(0)-f(1)}{2}[/tex]

[int]

Оценяваме последната сума както отгоре, така и отдолу и следва
[tex]\lim_{n\to\infty} n\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}f'(x_{k})(x-\frac{k}{n})dx=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx[/tex]

Не успях да проследя това разсъждение, ако може да видим въпросните оценки. Между другото, на кое място използваме непрекъснатостта на производната? Можем ли да го заменим с по-слабото условие за интегруемост?