забавлявайте се - интеграл (x^2+a^2)^n

[portokal]

[tex]\int {\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}}[/tex]

[kerry]

Стигнах до [tex]\int \frac{dx}{x^2+a^2}[/tex], но със сигурност съм объркал коефициента преди това.
Беше ми забавно. Утре ще си оправя коефициентите.

[portokal]

Стигнах до [tex]\int \frac{dx}{x^2+a^2}[/tex], но със сигурност съм объркал коефициента преди това.
Беше ми забавно. Утре ще си оправя коефициентите.

браво
нямам търпение да видя решението ти ;п

[kerry]

За да напиша подробно решението си на LaTeX ще ми отнеме нощта, затова ще напиша едно доста съкратено решение, а ако има въпроси как съм стигал от една стъпка до друга с удоволствие ще отговоря.

Полагам: [tex]x=a.tg(t) \ \ dx=\frac{a.dt}{cos^2t}[/tex]

И едно нещо, което често използвах: [tex]cos^{2k}t=\frac{a^{2k}}{(x^2+a^2)^k}[/tex]

[tex]\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n} \ = \ \frac{1}{a^{2n-1}} \int cos^{2(n-1)}t \ dt \ =[/tex]

[tex]= \ \frac{1}{2.a^{2n-1}.(n-1)} . \[tg(t).cos^{2(n-1)}t \ + \ (2n-3) \int cos^{2(n-2)} t \ dt \] \ =[/tex]


[tex]= \ \frac{1}{2.a^2.(n-1)} . \[ \frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}} \ + \ (2n-3) \int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{n-1}} \][/tex]

[portokal]

аз отначалото трябваше май да си постна решението и да ми кажеш къде бъркам ...
и аз така процедирам с полагането видях пример в сайта интеграл 29 ли беше 35 ли не помня, но се подхождаше по същия начин...
полагам х=atgu dx=adu/cos^2u
[tex]\int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}}=\int{\frac{adx}{(a^2tg^2u+a^2)^n}}=\frac{1}{a^{2n-1}}\int{\frac{dx}{(tg^2u+1)^n}}=
=\frac{1}{a^{2n-1}}\int{\frac{dx}{(\frac{sin^2u}{cos^2u}+sin^2+cos^2)^n}}=[/tex]
[tex]=\frac{1}{a^{2n-1}}\frac{1}{a^{2n-1}}\int{\frac{dx}{(\frac{sin^2u+sin^2ucos^2u+cos^4u}{cos^2u})^n}}=\frac{1}{a^{2n-1}}\int {\frac{cos^{2n}udu}{(sin^2+cos^2(sin^2+cos^2))^n}}=\int {cos^{2n}udu}[/tex]
а ти получаваш [tex]\frac{1}{a^{2n-1}}\int {cos^{2(n-1)}udu}[/tex]

аз едва по-късно получавам[tex]\frac{1}{a^{2n-1}}.\frac{cos^{2n-1}sinu}{2n}+\frac{2n-1}{2n}\int{{cos^{2(n-1)}udu}}[/tex]

пс: мерси за отделеното внимание ;]
ппс: измъчи ме тоя интеграл..

[kerry]

Тази тема само ние двамата си я обсъждаме, затова опитах на ЛС да ти пратя по-подробно решение, но май се препълни папката изходящи съобщения и затова го пускам отново тук.

Полагаме x=a.tgu

[tex]\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n} = \frac{a}{a^{2n}} . \int \frac {cos^{2n}u}{cos^2u} du = \frac{1}{a^{2n-1}}.\int cos^{2(n-1)}u du = \frac{J}{a^{2n-1}}[/tex]



[tex]J=\int cos^{2(n-1)}u du = \int cosu.cos^{2n-3}u \ du = \int cos^{2n-3}u.d(sinu) =[/tex]

[tex]= sinu.cos^{2n-3}u \ - \ \int sinu.d(cos^{2n-3}u) \\ = tgu.cos^{2n-2}u \ + \ (2n-3) \int sin^2u.cos^{2n-4}u.du \ = \\ = tgu.cos^{2n-2}u \ + \ (2n-3) \int (1-cos^2u)cos^{2n-4}u.du \ = \\ =tgu.cos^{2n-2}u \ + \ (2n-3) \int cos^{2n-4}u.du \ - \ (2n-3) J[/tex]

Интегралът J е от двете страни на равенството. От получилото се уравнение го намираме

[tex]J \ = \ \frac{tgu.cos^{2(n-1)}u}{2(n-1)} \ + \ \frac{2n-3}{2(n-1)} \int cos^{2n-4}u.du \ = \\ = \ \frac{tgu.cos^{2(n-1)}u}{2(n-1)} \ + \ \frac{2n-3}{2(n-1)} \int \frac{cos^{2(n-1)}u}{a}.\frac{adu}{cos^2u}[/tex]

Сега се връщаме към полагането

[tex]tgu = \frac{x}{a}[/tex]

[tex]cos^{2(n-1)}u \ = \ \frac {a^{2(n-1)}}{(x^2+a^2)^{n-1}}[/tex]

[tex]\frac{adu}{cos^2u} \ = \ dx[/tex]

И получаваме

[tex]\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n} \ = \ \frac{1}{a^{2n-1}} \(\frac{a^{2n-2}}{2.a.(n-1)}.\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}} \ + \ \frac{2n-3}{2(n-1)}.\frac{a^{2n-2}}{a}\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{n-1}}\)[/tex]

[tex]\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n} \ = \ \frac{1}{2a^2(n-1)}.\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2a^2(n-1)}. \int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{n-1}}[/tex]

[portokal]

мерси за отделеното време ;]

[WEBER]

Аз лично полагам [tex]x=asht[/tex], малко по-кратко е според мен.