Сходимост на един ред

[WEBER]

Като се използва дефиницията за сходимост на един ред, да се покаже, че следният ред е сходящ и се намери неговата сума


[tex]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{(2n-1)(2n+5) }[/tex]

Разлагаме общия член [tex]u_{n}=\frac{1}{6 }( \frac{1}{2n-1 } -\frac{1}{2n+5 } )[/tex]

И сега как да получа удобен израз за [tex]S_{n}[/tex], за да покажа, че редицата от парциалните суми на реда е сходяща, тоест да намеря [tex]\lim_{n\to\ \infty } S_{n}[/tex]

Прави ми впечатление, че като разпиша няколко члена [tex]S_{n}=\frac{1}{6 } (1-\frac{1}{7 } +\frac{1}{3 } -\frac{1}{ 9} + \frac{1}{5 } - \frac{1}{ 11} +\frac{1}{7 } -\frac{1}{ 13} +\frac{1}{9 } -\frac{1}{15 } +\frac{1}{11 } -\frac{1}{17 }...)[/tex] единствените, членове, които не се унищожават (може би) са [tex]1,\frac{1}{3 }[/tex] и [tex]\frac{1}{5 }[/tex] кака да го докажа?

[Добромир Глухаров]

[tex]S_n=\sum_{k=1}^n u_k=\frac{1}{6}\(\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k+5}\)[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\sum_{k=4}^n \frac{1}{2k-1}=\frac{23}{15}+\sum_{k=1}^{n-3} \frac{1}{2k+5}[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k+5}=\sum_{k=1}^{n-3} \frac{1}{2k+5}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}[/tex]

[tex]S_n=\frac{1}{6}\(\frac{23}{15}+\cancel{\sum_{k=1}^{n-3} \frac{1}{2k+5}}-\cancel{\sum_{k=1}^{n-3} \frac{1}{2k+5}}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}\)[/tex]

[tex]S_n=\frac{1}{6}\(\frac{23}{15}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}\)[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{\infty}u_k=\lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{6}\(\frac{23}{15}-0-0-0\)=\frac{23}{90}[/tex]

[WEBER]

Мерси за изрядно написаното решението. Знам колко трудно се пише на Latex, оценявам го!