Сходимост на един ред2-проверка

[WEBER]

Добромире, взех една друга задача да решавам oт същия тип по твоя метод. Би ли проверил дали е коректно всичко?

Като се изолзва дефиницията за сходимост на един ред, да се покаже, че следния ред е сходящ и се намери неговата сума.

[tex]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n(n+1)(n+2)}[/tex]

Решение:

[tex]S_{n}=\sum_{k=1}^{n } u_{k}=\frac{1}{2 } \sum_{k=1}^{n }(\frac{1}{k }+ \frac{1}{k+2 }) -\sum_{k=1}^{n }\frac{1}{k+1 }=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2 } (\sum_{k=1}^{n }\frac{1}{k } + \sum_{k=1}^{n }\frac{1}{k+2 })-\sum_{k=1}^{n }\frac{1}{k+1 }[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{n }\frac{1}{k } =1+\frac{1}{2 }+ \sum_{k=1}^{n-2 }\frac{1}{k+2 }[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{n }\frac{1}{k+2 } = \sum_{k=1}^{n-2 }\frac{1}{k+2 } + \frac{1}{ n+1} +\frac{1}{n+2}[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{n }\frac{1}{k+1 } = \frac{1}{2 } + \sum_{k=1}^{n-2 }\frac{1}{k+2 } + \frac{1}{n }[/tex]

[tex]=>\frac{1}{2 } (\sum_{k=1}^{n-2 }\frac{1}{k+2 } +1+\frac{1}{2 } +\sum_{k=1}^{n-2 }\frac{1}{k+2 } +\frac{1}{n+1 }[/tex] [tex]+\frac{1}{n+2 })-\frac{1}{2 } - \sum_{k=1}^{n-2 }\frac{1}{k+2 } -\frac{1}{n } =[/tex]
[tex]=\frac{3}{4 } - \frac{1}{2 } +\sum_{k=1}^{n-2 }-\sum_{k=1}^{n-2 }+\frac{1}{n+1 }+\frac{1}{n+2 }-\frac{1}{n }[/tex]

[tex]S_{n}=\frac{1}{4 } + \frac{1}{n+1 }+\frac{1}{n+2 }-\frac{1}{n }[/tex]

[tex]\lim_{n\to\ \infty } S_{n}=\frac{1}{4 }[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]\sum_{k=1}^{n }\frac{1}{k+1 } = \frac{1}{2 } + \sum_{k=1}^{n-2 }\frac{1}{k+2 } + \fbox{\frac{1}{n+1 }}[/tex]

[tex]=>\frac{1}{2 } (\sum_{k=1}^{n-2 }\frac{1}{k+2 } +1+\frac{1}{2 } +\sum_{k=1}^{n-2 }\frac{1}{k+2 } +\frac{1}{n+1 }+\frac{1}{n+2 })-\frac{1}{2 } - \sum_{k=1}^{n-2 }\frac{1}{k+2 } -\fbox{\frac{1}{n+1 }} =[/tex]
[tex]=\frac{3}{4 } - \frac{1}{2 } +\sum_{k=1}^{n-2 }-\sum_{k=1}^{n-2 }+\fbox{\frac{1}{2}\(\frac{1}{n+1 }+\frac{1}{n+2 }\)-\frac{1}{n+1 }}[/tex]

[tex]S_{n}=\frac{1}{4 } +\fbox{\frac{1}{2}\(\frac{1}{n+1 }+\frac{1}{n+2 }\)-\frac{1}{n+1 }}[/tex]

[tex]\lim_{n\to\ \infty } S_{n}=\frac{1}{4 }[/tex]

Иначе е вярно. (Поне аз не намирам други грешки.)

[WEBER]

Мерси. Не съм видял, че като съм преписвал от черновата съм допуснал грешка в беловата. На драскания лист ми е като при теб