Граници от изпити във ФМИ

[RadoFMI]

Здравейте,
Мъча се с тези няколко граници
Ако някой успее да ги реши, моля да напише и как е стигнал до решението. Самият отговор не ми носи никаква стойност

Благодаря предварително!
Първата : (* е умножение)
[tex]\lim_{x\to\infty} \(\sqrt[3]{x^3 + x^2 + 1} - \sqrt{x^2 + x + 1} * \frac{ln(e^x + x)}{x })[/tex]
Втората :
[tex]\lim_{x\to\0} \(\frac{1}{1 - cos(x) } - \frac{2}{x^2 } )[/tex]
И Третата : (тук (x+2) е на степен и x е на степен
[tex]\lim_{x\to\infty} \((x+2)^(1+\frac{1}{x}) - x^(1 + \frac{1}{x+2} ) )[/tex]

[RadoFMI]

Втората граница, като направя 2 пъти Лопитал и получавам 1/6 О_О Но не ми изглежда много елегантно решението

[mkmarinov]

Ето ти "по-елегантно", без Лопитал:
[tex]\frac{1}{1-cosx}-\frac{2}{x^2}=\frac{1}{2sin^2\frac{x}{2}}-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2-4sin^2\frac{x}{2}}{2x^2sin^2\frac{x}{2}}=\frac{1-4.\frac{sin^2\frac{x}{2}}{x^2}}{2.\frac{sin^2\frac{x}{2}}{x^2}}[/tex]...

[RadoFMI]

Първата граница е решена

Остава само 3тата, но там си нямам и на идея как да подходя

Всякаква помощ ще ми бъде от полза Благодаря

[diana351]

Здравей,
би ли споделил как решаваш първата граница?

[RadoFMI]

Доказваш, че [tex]\frac{ln(e^x + x)}{x }[/tex] клони към едно и след това допълваш до [tex]a^3 - b^3[/tex] корените и ги решаваш стандартно