sin(arctg()) + cos(arctg()) =

[PuhPat]

Някой може ли да помогне с 2 задачки:

sin( arctg(4/3)) + cos (arctg(5/12)) = ?
arctg (pi) + arcsin (-1/2) - arcCtg(-pi) = ?

[kerry]

Първата:

[tex]sin\alpha + cos \beta =?[/tex]

[tex]\alpha = arctg \frac{4}{3} \ ; \ tg \alpha = \frac{4}{3} \ ; \ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le\frac{\pi}{2} \ ; \ \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{4}{3} \ ; \ sin^2 \alpha +cos^2 \alpha =1 \ \Rightarrow \ sin\alpha = \ +\frac{4}{5}[/tex]

Аналогично [tex]-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2} \ ... \ sin^2\beta + cos^2 \beta =1 \ \Rightarrow \ cos \beta = + \frac{12}{13}[/tex]

[tex]\frac{4}{5} + \frac{12}{13}=?[/tex]

Втората:

[tex]-\frac{\pi}{2} + arcsin(-\fra{1}{2}) \ = \ -\frac{\pi}{2} +? \ = \ ...[/tex]

[PuhPat]

Благодаря много за решението. Относно втората задача нещо не можах да разбера?

[mkmarinov]

[tex]arctg(\pi)-arccotg(-\pi)+arcsin(-\frac{1}{2})=arctg(\pi)+arccotg(\pi)+arcsin(-\frac{1}{2})[/tex], защото котангенс (откъдето и аркус котангенс) е нечетна функция.
[tex]arctg(\pi)+arccotg(\pi)=\frac{\pi}{2}[/tex], това и гимназистите го знаят. Остава да намериш [tex]arcsin(-\frac{1}{2})[/tex].

[kerry]

[tex]arctg(\pi)[/tex] е остър ъгъл, а [tex]arcctg(-\pi)[/tex] - тъп.

Значи от по-малкия ъгъл изваждаме по-големия.

[tex]arctg(\pi)-arcctg(-\pi) = -\frac{\pi}{2}[/tex]

На чертежа имаме два еднакви правоъгълни триъгълника. Съответните катети са два по два перпендикулярни. Лесно се доказва, че и хипотенузите са перпендикулярни.

Arctg.PNG (10.95 KiB) Прегледано 574 пъти

[PuhPat]

Благодаря ви много