Ред, задачи: абсолютно сходящ, относително сходящ, разходящ

[jivko_d88]

Вярно ли решавам реда според вас?

redove.JPG (38.88 KiB) Прегледано 1959 пъти

Допускаме,че дадения ред е алтернативно сменящи се знаци => [tex]\sum_{n=0}^{\infty } \frac{a_{n}}{5^n }[/tex] = [tex]\sum_{n=0}^{\infty } \(-1)^{n} \frac{a_{n}}{5^n }[/tex] , но по условие той е разходящ => допускането е грешно => [tex]\sum_{n=0}^{\infty } \frac{a_{n}}{5^n }[/tex] е или само от положителни или само от отрицателни членове.

1 сл.) Нека редът е само от положителни членове => тука е очевидно, че тои е абсолютно сходящ.
2 сл.) Нека редът е само от отрицателни членове => [tex]\frac{a_{n+1} * 5^{n}}{a_{n} * 5^{n+1}} = \frac{(-1)a_{n+1}}{(-1)a_{n} * 5} = \frac{a_{n+1}}{a_{n} * 5} < 1[/tex] (по условие) където [tex]a_{n+1}[/tex] и [tex]a_{n}[/tex] са положителни.
Нека да разгледаме реда [tex]\sum_{n=0}^{\infty } |\frac{a_{n+1} * 5^{n}}{a_{n} * 5^{n+1}} |[/tex] за който като приложим критерия на Даламбер ще получим [tex]\frac{a_{n+1}}{a_{n} * 5}[/tex] където [tex]a_{n+1}[/tex] и [tex]a_{n}[/tex] са положителни. Ние вече показахме че това е < 1 => редът съставен само от отрицателни членове също е абсолютно сходящ.
и от (1) и (2) => редът е абсолютно сходящ.

в) имаме [tex]\frac{a_{n}}{5^{n} } \ge \frac{a_{n}}{6^{n} }[/tex] => че и този ред е абсолютно сходящ
б) образуваме [tex]b_{n} = \frac{5^{n}}{4^n}[/tex] тогава границата на [tex]\frac{b_{n+1}}{b_{n}} = \frac{5}{4} > 1[/tex] => редът [tex]\sum_{n=0}^{ \infty } b_{n}[/tex] e разходящ => [tex]\sum_{n=0}^{ \infty } b_{n} \frac{a_{n}}{5^{n}} = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{a_{n}}{4^{n}}[/tex] също е разходящ (тука не съм много сигурен за това)

г) прилагам директно Даламбер => [tex]|x| < \frac{a_{n}}{a^{n+1}}[/tex]

[Гост]

Искам и аз да попитам дали това решение на задачата е вярно.Предварително благодаря.

[mkmarinov]

Не. Въобще не е задължително да има някаква закономерност за знаците на [tex]a_n[/tex].
а): предполагаме, че [tex]\sum \frac{a_n}{6^n}[/tex] е абсолютно сходящ. Но [tex]\sum | \frac{a_n}{6^n} | = \sum |(-1)^n \frac{a_n}{6^n} |[/tex]. Абсолютната сходимост на единия импликира и абсолютната сходимост на другия, за който знаем, че е разходящ => не е абсолютно сходящ.

Нека ползваме критерия на Даламбер.
[tex]d_n = \lim_{n \to \infty}|\frac{\frac{a_{n+1}}{5^{n+1}}}{\frac{a_n}{5^n}} |= \lim_{n \to \infty}|\frac{1}{5} \frac{a_{n+1}}{a_n} |\le 1[/tex], т.к. даденият ред е сходящ.
[tex]e_n = \lim_{n \to \infty}|\frac{(-1)^{n+1} \frac{a_{n+1}}{5^{n+1}}}{(-1)^n \frac{a_n}{5^n}}| = \lim_{n \to \infty}|-\frac{1}{5} \frac{a_{n+1}}{a_n}| \ge 1[/tex], т.к. този ред е разходящ. Забелязваме, че едно и също нещо е едновременно по-голямо или равно и по-малко или равно на 1, т.е. е равно на 1.
[tex]\lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n+1}}{a_n}| = 5[/tex]
Оттук б), в) и г) са очевидни (и трите излизат с критерия на Даламбер).

[Гост]

Искам да попитам дали за другите 3 подточки става както в подточка а) или правим само Даламбер и получаваме да клони на б) към 1/4 ,следователно е абсолютно сходящ.Мерси предварително!

[Гост]

Искам да попитам защо взимаме 6^n а след това решаваме задачата с 5^n?

[mkmarinov]

Правописна грешка. 5 си е горе.

[Гост]

А защо в двете граници има по-малко и по-голямо и равно от 1, а в граничната форма на критерия на Даламбер е строго неравенство ?

[mkmarinov]

Критерий на Даламбер:
ако [tex]d > 1[/tex] - със сигурност разходящ
ако [tex]d < 1[/tex] - със сигурност сходящ
ако [tex]d = 1[/tex] - може и да е сходящ, и да е разходящ

В едната посока (имаме редът, искаме да определим характера му) случаят [tex]d=1[/tex] не ни носи информация. Но пък в другата посока (знаем характера на реда и искаме да определим зависимост между членовете му) не можем да пренебрегнем този случай - защото може да е сходящ с [tex]d=1[/tex]. Всъщност, доста често за условно сходящи редове се оказва, че [tex]d=1[/tex] (дори могат да се приложат разсъждения, подобни на горните, за да се докаже).

Единствено не съм напълно сигурен (90% съм сигурен) че критерия на Даламбер е необходимо условие за сходимост.
edit: сигурен съм, НДУ е за сходимост. Само може би трябва да се доказва

[Гост]

Защо пишем [tex]d_{n }\le 1[/tex] т.к. редът е сходящ при положение, че редът е условно сходящ, което означава, че редът от абсолютните стойности е разходящ, т.е [tex]d_{n }\ge 1[/tex]

[mkmarinov]

[tex]d_n \le 1[/tex] и [tex]d_n \ge 1[/tex] не са взаимно изключващи се.

[Гост]

Да така е, че двете неравенства не са взаимно изключващи се, но въпросът е, че за да приложиш признака на Даламбер трябва редът да е с положителни членове или най-малко от някой номер нататък да са положителни. В случая, редът е с алтернативно сменящи се знаци и е условно сходящ (което се доказва в а) подточка), което означава, че редът от абсолютните стойности е разходящ, т.е [tex]d_{n }\ge 1[/tex]. Къде бъракам в разсъжденията си Не разбирам защо [tex]d_{n }\le 1[/tex] при положение, че [tex]d_{n }=e_{n }[/tex], защото са по модул, а двата реда по модул са равни

[mkmarinov]

Не, не е задължително редът да е само с положителни знаци, за да се приложи Даламбер. Ще напиша решение, което не цитира Даламбер, но ползва същата идея.

в а) не ползвам Даламбер => остава си същото решение
Нека [tex]b_n=\frac{a_n}{5^n}[/tex] и нека [tex]\lim_{n \to \infty} |\frac{b_{n+1}}{b_n}|=q[/tex]
1) Нека [tex]q<1[/tex]. Тогава за редът [tex]\sum |b_n|[/tex] можем да кажем, че е сходящ, т.к. в безкрайност е подобен на геометричен ред с частно по-малко от единица. Освен това е абсолютно сходящ (т.к. е само от положителни членове), но в а) видяхме, че не е абсолютно сходящ => предположението [tex]q<1[/tex] е невярно.
2) Нека [tex]q>1[/tex]. Но това означава, че в безкрайност [tex]|b_{n+1}|=q|b_n|[/tex] => [tex]\exists k : |b_n|=|b_k|q^n[/tex]. Оттук получаваме, че [tex]|b_n|[/tex] е разходяща редица.
Нека редът [tex]\sum b_n[/tex] е сходящ. Тогава, от критерия на Коши знаем, че
[tex]\forall \epsilon > 0 \exists N : \forall n \ge N, \forall p \ge 1 : |\sum_{0}^{n+p}b_n-\sum_{0}^nb_n| = |\sum_{n+1}^{n+p}b_n| < \epsilon[/tex]
Нека фиксираме [tex]\epsilon[/tex] и [tex]N[/tex], а [tex]n[/tex] е произволно число, по-голямо от [tex]N[/tex]. Нека [tex]p=1[/tex]: излиза, че
[tex]|b_{n+1}|< \epsilon \forall n > N[/tex]. Което е противоречие с това, че [tex]|b_n|[/tex] е разходяща.
=> предположението, че [tex]q > 1[/tex] е невярно.
3) [tex]q=1[/tex] или такъв ред не съществува

Забележка: горното решение не е формално. За да стане формално, изразите "в безкрайност еди-какво-си" трябва да се заменят с формалния им еквивалент.
И също, за знаците на реда не е дадена някаква зависимост - ти предполагаш, че е или с постоянни знаци, или с алтернативно сменящи се - може например всеки трети знак да е минус.

[Гост]

Мерси за пояснението

[matst]

Степенният ред [tex]\sum_{n=0}^{\infty } a_n x^n[/tex] е сходящ при [tex]x=\frac{1}{5}[/tex] и е разходящ при [tex]x=-\frac{1}{5}[/tex]. Следователно, радиусът на сходимост е [tex]R=\frac{1}{5}[/tex] и областта на сходимост е полузатворения интервал [tex](-\frac{1}{5}; \frac{1}{5}][/tex].

(а) допускането, че редът [tex]\sum_{n=0}^{\infty } \frac{a_n}{5^n}[/tex] е абсолютно сходящ влече
[tex]\lim\limits_{n\to\infty} \sup\limits_{1\le p\le \infty} \sum\limits_{k=n}^{k=n+p} |\frac{a_n}{5^n}| =0[/tex] и с помощта на неравенството [tex]\sum\limits_{k=n}^{k=n+p} |\frac{a_n}{5^n}| \ge | \sum\limits_{k=n}^{k=n+p} \frac{(-1)^n a_n}{5^n}|[/tex] се извежда [tex]\lim\limits_{n\to\infty} \sup\limits_{1\le p\le \infty} | \sum\limits_{k=n}^{k=n+p} \frac{(-1)^n a_n}{5^n}| =0[/tex] и от тук, по НДУ на Коши за сходимост, следва сходимостта на [tex]\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n a_n}{5}[/tex] - т.е. извежда се противоречие; ето защо редът [tex]\sum_{n=0}^{\infty } \frac{a_n}{5}[/tex] не е абсолютно сходящ и в крайна сметка - условно сходящ.

(б) числото [tex]\frac{1}{4}[/tex] не е в областта на сходимост и следователно [tex]\sum_{n=0}^{\infty } \frac{a_n}{4^n}[/tex] е разходящ.

(в) числото [tex]\frac{1}{6}[/tex] е вътре в областта на сходимост и следователно [tex]\sum_{n=0}^{\infty } \frac{a_n}{6^n}[/tex] е абсолютно сходящ. (теорема на Абел)

(г) радиусът е [tex]R=\frac{1}{5}[/tex]. (теорема за почленното диференциране на степенен ред)