Меню
Да се докаже че [tex]\int_{0}^{\infty }[/tex]sin[tex]\frac{x^{4}+x^{3}}{x^{2} + 5 }dx[/tex] е сходящ.
Решение:
Полагаме: [tex]x = \frac{1}{t}[/tex]
Тогава: [tex]\int_{0}^{\infty }[/tex]sin[tex]\frac{x^{4}+x^{3}}{x^{2} + 5 }dx[/tex] = [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{1}{t^{2} }[/tex]sin[tex]\frac{t + 1 }{5t^{4} + t^{2}}dt[/tex]
Сега нека да разгледаме: [tex]- \int_{0}^{\infty }\frac{1}{t}[/tex]sin[tex]\frac{t + 1 }{5t^{4} + t^{2}}dt[/tex]
Нека: [tex]g(t) =\frac{1}{t}[/tex], а [tex]f(t) =[/tex]sin[tex]\frac{t + 1 }{5t^{4} + t^{2}}[/tex]
[tex]f(t)[/tex] е непрекъсната в/у полуправата [tex][0,+\infty )[/tex] и има ограничена примитивна, a [tex]g(t)[/tex] е непрекъснато диференцируема и монотонна и [tex]g(t) -> 0[/tex] при [tex]t -> \infty[/tex]
Тогава: [tex]\int_{0}^{\infty } g^{1}_{t}(t) f(t)[/tex] = [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{1}{t^{2} }[/tex]sin[tex]\frac{t + 1 }{5t^{4} + t^{2}}dt[/tex] ([tex]g^{1}_{t}(t)[/tex] -> производната на g(t)) е сходящ според критерия на Дирихле. С това сходимостта е доказана.
Моля ако някой може да направи проверка и да каже дали всичко написано е вярно
