Лице на фигура

[student]

Да се пресметне лицето на фигурата определена чрез:

[tex]G:\begin{tabular}{|l}x^2=a.y\\x^2=b.y\\x^3=c.y^2\\x^3=d.y^2\end{tabular},[/tex] [tex]0<a<b;[/tex] [tex]0<c<d \in R[/tex]

Може ли едно рамо за тази задача. Благодаря

[stflyfisher]

Да се пресметне лицето на фигурата определена чрез:

[tex]G:\begin{tabular}{|l}x^2=a.y\\x^2=b.y\\x^3=c.y^2\\x^3=d.y^2\end{tabular},[/tex] [tex]0<a<b;[/tex] [tex]0<c<d \in R[/tex]

Може ли едно рамо за тази задача. Благодаря

[tex]0<a<b;[/tex] [tex]0<c<d \in R[/tex]

[tex]G: \begin{tabular}{|l}x^2=ay\\x^2=by\\x^3=cy^2\\x^3=dy\end{tabular}=>[/tex]

[tex]G: \begin{tabular}{|l}\frac{x^2}{y}=a\\\frac{x^2}{y}=b\\\frac{x^3}{y^2}=c\\\frac{x^3}{y^2}=d\end{tabular}[/tex]

Полагaме: [tex]\begin{tabular}{|l}\frac{x^2}{y}=u\\\frac{x^3}{y^2}=v\end{tabular}[/tex] [tex]u \in [a;b], v \in [c;d][/tex]

от първото уравнение =>[tex]y=\frac{x^2}{u}[/tex]

Заместваме във второто: [tex]\frac{x^3}{y^2}=v=>\frac{x^3}{(\frac{x^2}{u})^2}=v=>\frac{x^3}{x^4}.u^2=v=>[/tex]

[tex]\frac{u^2}{x}=v=>x=\frac{u^2}{v}[/tex]

Заместваме с първото:[tex]y=\frac{x^2}{u}=\frac{(\frac{u^2}{v})^2}{u}=\frac{u^3}{v^2}[/tex]
т.е.

Полагаме:

[tex]\begin{tabular}{|l}\\x=\varphi(u,v)= \frac{u^2}{v}\\y= \psi (u,v)=\frac{u^3}{v^2}\end{tabular}[/tex]

Лицето на фигурата е:

[tex]\int \int_{G}dxdy=\int \int_{G*}|J|dudv[/tex],

където:

[tex]G*: \begin{tabular}{|l}a<u<b\\c<v<d\end{tabular}[/tex]


[tex]J= \begin{array}{|rr|} \frac{\partial x}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial v} \end{array}[/tex]

[tex]\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{2u}{v};[/tex]

[tex]\frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{u^2}{v^2};[/tex]

[tex]\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{3u^2}{v^2};[/tex]

[tex]\frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{2u^3}{v^3}[/tex]

[tex]J= \begin{array}{|rr|} \frac{2u}{v} &-\frac{u^2}{v^2} \\
\frac{3u^2}{v^2} &-\frac{2u^3}{v^3} \end{array}=-\frac{4u^4}{v^4}+\frac{3u^4}{v^4}=-\frac{u^4}{v^4}[/tex]

[tex]\int \int_{G}dxdy=\int \int_{G*}|J|dudv=\int \int_{G*}|-\frac{u^4}{v^4}|dudv=\int \int_{G*}\frac{u^4}{v^4}dudv=[/tex]

[tex]=\int_{a}^{b }[\int_{c}^{d } \frac{u^4}{v^4} dv]du=\int_{a}^{b }[u^4\int_{c}^{d } \frac{1}{v^4} dv]du=\int_{a}^{b }u^4.\frac{v^{-4+1}}{-4+1}|_c^d du=[/tex]

[tex]=\int_{a}^{b }u^4.\frac{v^{-3}}{-3}|_c^d du=-\frac{1}{3}\int_{a}^{b }u^4.v^{-3}|_c^d du=[/tex]

[tex]=-\frac{1}{3}\int_{a}^{b }u^4.[\frac{1}{d^3}-\frac{1}{c^3}]du=-\frac{1}{3}.[\frac{1}{d^3}-\frac{1}{c^3}]\int_{a}^{b }u^4du[/tex]

[tex]=\frac{1}{3}.[\frac{1}{c^3}-\frac{1}{d^3}].\frac{u^{4+1}}{4+1}|_a^b=[/tex]

[tex]=\frac{1}{15}.[\frac{1}{c^3}-\frac{1}{d^3}].[b^5-a^5]=\frac{(d^3-c^3)(b^5-a^5)}{15c^3d^3}[/tex]

Окончателно получавам, че лицето е: [tex]S=\frac{(d^3-c^3)(b^5-a^5)}{15c^3d^3}[/tex]