интеграли - cos^2(arctgx)dx

[djoni]

Здравейте! Имам проблем с 2 задачки. Моля, помогнете...

[Anubis]

[tex]\int {cos^2 (\arctan x)} \operatorname{d}x[/tex]

Ако [tex]\arctan x = u[/tex], то [tex]x = \tan u \Rightarrow \operatorname{d}x = \frac{\operatorname{d}u}{cos ^ 2 u}[/tex].

[tex]\int {cos^2 (\arctan x)} \operatorname{d}x = \int {cos ^ 2 u}.\frac{\operatorname{d}u}{cos ^ 2 u} = \int \operatorname{d} u = u = \arctan x[/tex]

Забележка. Най-малкото, от [tex]cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+ \tan ^2 \alpha}}[/tex] след полагането [tex]\alpha = \arctan x[/tex] се получава

[tex]cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \Rightarrow cos ^ 2 (\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}[/tex]

и трябва да сметнем само [tex]\int {\frac{\operatorname{d}x}{1+x^2}}[/tex], което е [tex]\arctan x[/tex].