Интегрален критерий на Коши, вярно ли е доказателството

[WEBER]

Нека [tex]f(x)[/tex] е една непрекъсната, положителна и намаляваща функция в интервала [tex][1,\infty )[/tex], тогава

[tex]\int_{1}^{ \infty } f(x)dx[/tex] и [tex]\sum_{n=1}^{\infty }u_n, (u_n=f(n))[/tex] са едновременно сходящи или разходящи.

Може ли да ми помогнете да приведа малко във вид това неoгледно доказателство?

[tex]k \le x \le k+1[/tex]

[tex]f(k+1) \le f(x) \le f(k)[/tex]

[tex]\int_{k}^{k+1 } f(k+1)dx \le \int_{k}^{k+1 } f(x)dx \le \int_{k}^{k+1 } f(k)dx <=> u_{k+1} \le \int_{k}^{k+1 } f(x)dx \le u_k[/tex]


[tex]\begin{tabular}{|l}u_2 \le \int_{1}^{2 } f(x)dx \le u_1\\u_3 \le \int_{2}^{3} f(x)dx \le u_2\\ ... \\ u_{n+1} \le \int_{n}^{n+1 } f(x)dx \le u_n\end{tabular}[/tex]


чрез събиране [tex]0 \le S_{n+1}-u_1 \le \int_{1}^{n+1 } f(x)dx \le S_n[/tex]

ако [tex]\exists[/tex] [tex]\int_{1}^{ \infty } f(x)dx[/tex] то [tex]\sum_{n=1}^{ \infty } u_n[/tex] е един сходящ ред.


Да предположим, че [tex]\int_{1}^{n } f(x)dx->\infty, n->\infty[/tex] (тоест е разходящ)

[tex]\int_{1}^{n+1 } f(x)dx->\infty, n->\infty[/tex]

[tex]S_n \ge \int_{1}^{n+1 } f(x)dx[/tex]

[tex]=> {(S_n)} _{n=1} ^{\infty}[/tex] е разходяща редица (тука исках да е {S_n}, но по някакви причини не става)

[tex]=>[/tex] редът [tex]\sum_{n=1}^{ \infty } u_n[/tex] е разходящ.

[WEBER]

Никой ли не желае да помогне?