Доказване на основна граница - корен n-ти от n

[stef123]

Някой може ли да ми докаже, че границата на числовата редица (n клони към безкрайност)?

[mkmarinov]

[tex]\sqrt[n]{n}=n^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{lnn}{n}}[/tex], откъдето
[tex]\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} = e^{\lim_{n \to \infty}\frac{lnn}{n}}=e^{\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{1}}=e^0=1[/tex]
След второто равенство ползвам правилото на Лопитал.

[inveidar]

Мисля, че по-добра работа ще ти свърши следният начин:

Очевидно [tex]a_{n}=\sqrt[n]{n}>1[/tex]. Да положим [tex]a_{n}=\sqrt[n]{n}=1+\alpha _{n}[/tex], където [tex]\alpha_{n}>0[/tex]. Тогава [tex]n=(1+\alpha_{n})^{n}=1+C_{n}^{1}\alpha_{n}+C_{n}^{2}\alpha _{n}^{2}+...+C_{n}^{n}\alpha_{n}^{n} >1+\frac{n(n-1)}{2 }\alpha_{n}^{2}[/tex](Второто и от четвъртото събираемо до края ги премахваме!). Така получихме [tex]n>1+\frac{n(n-1)}{2 }\alpha_{n}^{2}[/tex], откъдето намираме [tex]\alpha_{n}<\sqrt{\frac{2}{n } }[/tex]. Това заедно с казаното в началото ни дава [tex]0<\alpha_{n}<\sqrt{\frac{2}{n } }[/tex], т.е [tex]\alpha_{n}[/tex] клони към нула, а следователно и [tex]a_{n}=\sqrt[n]{n}=1+\alpha _{n}[/tex] също.

[inveidar]

...а следователно и [tex]a_{n}=\sqrt[n]{n}=1+\alpha _{n}[/tex] също.

... а следователно и [tex]a_{n}=\sqrt[n]{n}=1+\alpha _{n}[/tex] клони към 1!

[pipi langstrump]

Да докажем първо следното твърдение: Ако q>1, то за достатъчно големи n е изпълнено [tex]q^n>n[/tex]
Индукция. При 1 е вярно. Нека е вярно и за някое достатъчно голямо[tex]n_0[/tex], т.е. [tex]q^{n_0}>n_0[/tex]
Тогава [tex]q^{n_0 + 1} = q^{n_0}q>n_0q[/tex]
Ако вземехме [tex]n_0[/tex] да беше толкова голямо, че [tex]n_0q>n_0 + 1[/tex], т.е. [tex]n_0>\frac{1}{q-1}[/tex], щяхме да получим [tex]q^{n_0 + 1} > n_0 + 1[/tex] Взимаме го да е толкова голямо и така доказваме твърдението.
Нека сега [tex]\epsilon > 0[/tex]. От доказаното имаме [tex](1+\epsilon)^n > n[/tex] за достатъчно големи n, т.е. [tex]\sqrt[n]{n} - 1 < \varepsilon[/tex]. От друга страна, за достатъчно големи n имаме [tex]\sqrt[n]{n}>1[/tex], т.е. [tex]\sqrt[n]{n} - 1 > 0 > - \epsilon[/tex]
Значи за достатъчно големи n имаме [tex]-\epsilon<\sqrt[n]{n} - 1 < \epsilon[/tex], т.е. [tex]|\sqrt[n]{n} - 1|<\epsilon[/tex]