Една граница

[pipi langstrump]

Да се намери [tex]\lim_{n\to\infty } n\left(2 - \underbrace {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +...+\sqrt{2} } } } } } }}_{n \, \cyr{korena}}\right)[/tex]

Свеждам я до граница на рекурентна редица с непостоянни коефициенти и дотам. Не мога да го измисля нататък

[martin123456]

имаш ли отг

[pipi langstrump]

Не, напиши решение.

[martin123456]

[tex]a_1=\sqrt{2}[/tex], [tex]a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex] и тн
[tex]a_n^2=2+a_{n-1}[/tex]. редицата расте и е ограничена отгоре от 2. значи е сходяща. лесно се вижда граница 2.
[tex]A=\lim_{n \rightarrow \infty}n(2-a_n)=\frac{n(4-a_n^2)}{2+a_n} \rightarrow \frac{n(4-a_n^2)}{4}=\frac{n(2-a_{n-1})}{4}=\frac{(n-1)(2-a_{n-1})+2-a_{n-1}}{4} \rightarrow \frac{A}{4}[/tex]

[martin123456]

как ти изглежда?

[pipi langstrump]

Така добре, но трябва да се докаже, че редицата е намаляваща, иначе границата може да е и безкрайност.

[martin123456]

дам, но сигурно не е трудно

[pipi langstrump]

А ето го и истинското решение. Не се иска много ум, но както се казва, който няма глава има крака; и в математиката е така .

Използваме твърдението : ако [tex]a_n\ne 0[/tex] и [tex]\left|\lim_{n\to\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1[/tex] , то [tex]\lim_{n\to\infty } a_n = 0[/tex]
Остава само да го проверим. Модул няма да пишем, защото редицата е положителна.

[tex]\lim_{n\to\infty } \frac{(n+1)\left(2 - \underbrace {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +...+\sqrt{2} } } } } } }}_{n+1 \, \cyr{korena}}\right)}{n\left(2 - \underbrace {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +...+\sqrt{2} } } } } } }}_{n \, \cyr{korena}}\right)} = \lim_{n\to\infty } \frac{\left(2 - \underbrace {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +...+\sqrt{2} } } } } } }}_{n+1 \, \cyr{korena}}\right)}{\left(2 - \underbrace {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +...+\sqrt{2} } } } } } }}_{n \, \cyr{korena}}\right)}=[/tex]

[tex]=\lim_{n\to\infty } \frac{\left(2 - \underbrace {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +...+\sqrt{2} } } } } } }}_{n+1 \, \cyr{korena}}\right)}{\left(2 - \underbrace {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +...+\sqrt{2} } } } } } }}_{n \, \cyr{korena}}\right)}\frac{\left(2 + \underbrace {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +...+\sqrt{2} } } } } } }}_{n+1 \, \cyr{korena}}\right)}{\left(2 + \underbrace {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +...+\sqrt{2} } } } } } }}_{n+1 \, \cyr{korena}}\right)}=[/tex]

[tex]= \lim_{n\to\infty } \frac{\left(2 - \underbrace {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +...+\sqrt{2} } } } } } }}_{n \, \cyr{korena}}\right)}{\left(2 - \underbrace {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +...+\sqrt{2} } } } } } }}_{n \, \cyr{korena}}\right) \left(2 + \underbrace {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 +...+\sqrt{2} } } } } } }}_{n+1 \, \cyr{korena}}\right)} = \frac{1}{4}[/tex]

[martin123456]

a защо това да е истинското решенеие

[pipi langstrump]

Поправям се - едно от истинските.