Интеграл Cambridge Maths Tripos 2009

[mnnayden1]

Това е задача по математика от 2009 в Кембридж, немога да я реша, а ми е за домашно. Интегралът е следният:
∫1/(x^2+x+1)dx от 0 до 1. Проблема е че Wolfram Mathematica ми дава коефициента пред интеграла с речипрочна стойност на тази, която аз получавам и съответно не се получава. Ако някой може да го реши да ми обясни как става ше съм много благодарен.

Предваритлено благодаря

[mkmarinov]

[tex]=\int_0^1 \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}[/tex]
Сега правим субституцията [tex]x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}t[/tex], [tex]dx=\frac{\sqrt{3}}{2}dt[/tex], границите за t стават между [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] и [tex]\sqrt{3}[/tex]
[tex]=\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}dt}{\frac{3}{4}(1+t^2)}=\frac{2}{\sqrt{3}} \int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dt}{1+t^2}[/tex]
Който интеграл е табличен и равен на [tex]\frac{\sqrt{3}\pi}{9}[/tex].

//Изчистих изчислителната грешка.

[Xixibg]

[tex]\int_{}^{} \frac{1}{x^2+x+1}dx=\int_{}^{ } \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}d(x+\frac{1}{2})=\frac{2\sqrt{3}}{3}arctan{\frac{2\sqrt{3}(x+\frac{1}{2})}{3}+C[/tex]
[tex]\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+x+1}dx=\frac{\sqrt{3}\pi }{9}[/tex]

[mnnayden1]

Благодаря ви много, трябваше сега да сте ми колеги тука и да решаваме задачи. Тва го умувам сума време. Супер сте!