Неопределен интеграл

[edrenchev]

[tex]\int_{}^{ } \frac{5x-13}{(x^2-5x+6)^2 }dx[/tex]
Разлагам го по този начин. Намирам B=-3 и D=2, но не мога да намеря A и C.
[tex]\frac{5x-13}{(x^2-5x+6)^2 }=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{x-3}+\frac{D}{(x-3)^2}[/tex]

[Xixibg]

Ето ти разлагането.На там ще се оправиш
Просто когато имаш двоен корен трябва да разлагаш по този начин.
[tex]\frac{5x-13}{(x^2-5x+6)^2}=\frac{5x-13}{(x-2)^2(x-3)^2}=\frac{Ax+B}{(x-2)^2}+\frac{Cx+D}{(x-3)^2}[/tex]
[tex]=>(Ax+B)(x-3)^2+(Cx+D)(x-2)^2=5x-13[/tex]
[tex]=>Ax^3-6Ax^2+9Ax+Bx^2-6Bx+9B+Cx^3-4Cx^2+4Cx+Dx^2-4Dx+4D=5x-13[/tex]
[tex]=>(A+C)x^3+(B-6A+D-4C)x^2+(9A-6B+4C-4D)x+9B+4D=5x-13[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}A+C=0 ; =>A=-C\\B-6A+D-4C=0\\9A-6B+4C-4D=5\\9B+4D=-13 \end{tabular}[/tex]
[tex]=>\begin{tabular}{|l}B+2C+D=0 ; =>4B+8C+4D=0\\-6B-5C-4D=5\\9B+4D=-13 \end{tabular}[/tex]
[tex]=>\begin{tabular}{|l}-2B+3C=5;=>-6B+9C=15\\3B-5C=-8 ; =>6B-10C=-16 \end{tabular}=>C=1; =>A=-1[/tex]
[tex]=>3B=5C-8=5-8=-3 ; =>B=\frac{-3}{3}=-1[/tex]
[tex]=>D=-B-2C=1-2=>; D=-1[/tex]

[tex]=>\frac{5x-13}{(x^2-5x+6)^2}=\frac{-x-1}{(x-2)^2}+\frac{x-1}{(x-3)^2}[/tex]

[edrenchev]

Благодаря ти

Имаш грешка на 5-тия ред отдолу нагоре. Аз получих А=-1, B=-1, C=1, D=-1

[Xixibg]

Оправих я.
Грешка в сметките

[edrenchev]

Здравейте. Имам още един проблем и не мога да го разреша та ето и задачата.
[tex]\int_{}^{ } \frac{x^5+2x^2+2x+1}{x^3-3x+2 }dx[/tex]
Значи след делението на двата полинома се получава:

[tex]\frac{x^5+2x^2+2x+1}{x^3-3x+2 }=x^2+3+ \frac{11x-5}{x^3-3x+2 }[/tex]
Искам да попитам втория израз как може да се разложи на правилни рационални дроби? Благодаря

[stflyfisher]

Здравейте. Имам още един проблем и не мога да го разреша та ето и задачата.
[tex]\int_{}^{ } \frac{x^5+2x^2+2x+1}{x^3-3x+2 }dx[/tex]
Значи след делението на двата полинома се получава:

[tex]\frac{x^5+2x^2+2x+1}{x^3-3x+2 }=x^2+3+ \frac{11x-5}{x^3-3x+2 }[/tex]
Искам да попитам втория израз как може да се разложи на правилни рационални дроби? Благодаря

Вторият израз си е правилна рационална дроб. Може би става дума за елементарни рациoнални дроби .

[tex]\frac{11x-5}{x^3-3x+2 }[/tex]

1. Степента на знаменателя е по-голяма от степента на числителя.
2. Разлагаш знаменателя на неразложими множители:

[tex]x^3-3x+2=(x-1)(1x^2+1x-2)=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)^2(x+2)[/tex]

3. [tex]\frac{11x-5}{x^3-3x+2 }=\frac{11x-5}{(x-1)^2(x+2)}[/tex]

4. [tex]\frac{11x-5}{x^3-3x+2 }=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+2}[/tex]

5. Остават да се намерят числата [tex]A, B, C[/tex]

[stflyfisher]

[tex]=>\frac{5x-13}{(x^2-5x+6)^2}=\frac{-x-1}{(x-2)^2}+\frac{x-1}{(x-3)^2}[/tex]

Това разлагене не би помогноло много да се реши интеграла

[edrenchev]

[tex]=>\frac{5x-13}{(x^2-5x+6)^2}=\frac{-x-1}{(x-2)^2}+\frac{x-1}{(x-3)^2}[/tex]

Това разлагене не би помогноло много да се реши интеграла

A как би трябвало да е?

[stflyfisher]

[tex]\frac{5x-13}{(x^2-5x+6)^2 }=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{x-3}+\frac{D}{(x-3)^2}[/tex]

Използвай това:

1. Освобождаване от знаменател;
2. Групиране по степениете на х;
3. Приравняване на коефицентите пред еднаквите степени => образуване на система от 4 уравнения с 4 неизвестни (A, B, C, D)
4. Решаване на системата(намирането на A, B, C, D)
5. Разлагене на дробта на елементарни дроби
6 Решаване на интегралите