Граница

[kureto]

Добър вечер. Следната граница ме мъчи от доста време и не се сещам как да я реша:

[tex]lim_{n\to\infty } \frac{1}{n^3 } . lim_{x\to\0} \frac{1-cosx.cos2x...cosnx}{x^2 }[/tex]

Благодаря предварително !

[pipi langstrump]

[tex]\lim_{x\to 0} \frac{1-cos x.cos 2x...cos nx}{x^2 } =[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0} \frac{1- cos x + cosx -cos x.cos 2x...cos nx}{x^2 } =[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0}\frac{1- cos x}{x^2} + \lim_{x\to 0}\frac{cos x -cos x.cos 2x...cos nx}{x^2 } =[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0}\frac{1- cos x}{x^2} + \lim_{x\to 0}cos x \lim_{x\to 0}\frac{1 - cos 2x...cos nx}{x^2 } =[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0}\frac{1- cos x}{x^2} + \lim_{x\to 0}\frac{1 - cos 2x + cos 2x - cos 2x...cos nx}{x^2 } =[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0}\frac{1- cos x}{x^2} + \lim_{x\to 0}\frac{1 - cos 2x}{x^2} + \lim_{x\to 0}\frac{cos 2x - cos 2x...cos nx}{x^2} =[/tex][tex]\lim_{x\to 0}\frac{1- cos x}{x^2}+\lim_{x\to 0}\frac{1- cos 2x}{x^2}+\lim_{x\to 0}cos 2x \lim_{x\to 0} \frac{1 - cos 3x...cos nx}{x^2} =... =[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0}\frac{1- cos x}{x^2} + \lim_{x\to 0}\frac{1- cos 2x}{x^2} +...+ \lim_{x\to 0}\frac{1- cos nx}{x^2}[/tex]

Сега си ти

[vel.angelov]

За разнообразие ето още едно решение:
[tex]A=\lim_{x\to 0} \frac{1-cos x.cos 2x...cos nx}{x^2 } =\frac{0}{0 }[/tex] -неопределеност,прилагаме правило на Лопитал като виждаме следното:
[tex](f_{1}(x).f_{2}(x).f_{3}(x)...f_{n}(x))'=f_{1}'(x).f_{2}(x).f_{3}(x)...f_{n}(x)+f_{1}(x).f_{2}'(x).f_{3}(x)...f_{n}(x)+[/tex]
[tex]+f_{1}(x).f_{2}(x).f_{3}'(x)...f_{n}(x)+...+f_{1}(x).f_{2}(x).f_{3}(x)...f_{n}'(x)[/tex]
Границата придобива вида:
[tex]A=\frac{1}{2 } \lim_{x\to 0}(\frac{sinx.cos2x.cos3x...cosnx}{ x} +\frac{2^{2}.cosx.sin2x.cos3x...cosnx}{ 2x}+[/tex]
[tex]+\frac{3^{2}.cosx.cos2x.sin3x...cosnx}{ 3x}+...+\frac{n^{2}.cosx.cos2x.cos3x...sinnx}{ nx})[/tex]
[tex]A=\frac{\sum_{p=1}^{n }p^{2} }{2 }[/tex]
Сега може да се докаже че [tex]\sum_{p=1}^{n }p^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{ 6}[/tex]
[tex]\lim_{n\to \infty }\frac{A}{ n^{3}} =\lim_{n\to \infty }\frac{n(n+1)(2n+1)}{ 12n^{3}} =\frac{1}{ 6}[/tex]

[mkmarinov]

А за още разнообразие, при [tex]x \to 0[/tex]:
[tex]cosxcos2x \dots cosnx \to (\frac{cosx+cos2x+\dots+cosnx}{n})^n[/tex]