Задача от индукция |sinxn| < n |sinx|

[united12]

Да се докаже чрез индукция:

|sinxn| ≤ n |sinx|

1. Проверка при n=1 |sinx| ≤ |sinx|

2. n=p: |sinxp|≤ p |sinx|

3. Ще докажем, че неравенството е вярно и при n=p+1 :

|sinx(p+1)|≤ (p+1) |sinx|
Ако някой може да допише решението, аз не знам как да продължа. Благодаря предварително.

[vel.angelov]

[tex]|(p+1)sinx|=|p.sinx+sinx|\le |p.sinx|+|sinx|=(p+1)|sinx|[/tex]-Неравенство на триъгълника
[tex]p\in N[/tex]

[grav]

[tex]|(p+1)sinx|=|p.sinx+sinx|\le |p.sinx|+|sinx|=(p+1)|sinx|[/tex]-Неравенство на триъгълника
[tex]p\in N[/tex]

[tex]|(p+1)\sin x|=|(p+1)||\sin x|=(p+1)\sin x|[/tex]

В условието е [tex]|\sin(nx)|[/tex]

[tex]|\sin[(p+1)x]|=|\sin(px+x)|=|\sin(px)\cos(x)+\cos(px)\sin(x)|\le |\sin(px)\cos(x)|+|\cos(px)\sin(x)|[/tex]

[tex]\le |\sin(px)|+|\sin(x)|\le p|\sin(x)|+|\sin(x)|[/tex]