Граници на фон Нойман

[pipi langstrump]

Намерете [tex]\lim_{n\to\infty} n sin(2\pi n!e)[/tex]

[Apocalyp5e]

[tex]e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots[/tex]

[tex]2\pi n!e = 4\pi n! + \frac{2\pi n!}{2!} + \frac{2\pi n!}{3!} + \frac{2\pi n!}{4!} + \cdots[/tex]

Понеже синусът е периодична функция с период [tex]2\pi ,[/tex] можем да съкратим първите няколко члена на [tex]\sum_{z = 0}^\infty \frac{2\pi n!e}{z!}[/tex], при които [tex]\frac{n!}{z!}[/tex] е цяло число ( n ? z).

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} n \sin(2 \pi n! e) = \lim_{n \rightarrow \infty} n \sin \left( \frac{2 \pi}{n + 1} + \frac{2 \pi}{(n + 1)(n + 2)} + \cdots \right)[/tex]

От развитието на синуса в ред на Тейлър знаем, че при много малки стойности на х, [tex]\sin(x)\approx x.[/tex]

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} n \sin(2 \pi n! e) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(n .\frac{2 \pi}{n + 1} + n.\frac{2 \pi}{(n + 1)(n + 2)} + \cdots\right) = 2 \pi[/tex]

[pipi langstrump]

Отлично!