Да се намери полином на Тейлър от втори ред за f(x)= 1/(1-ln

[nova]

Не мога да се оправя с тази задача:
Да се намери полином на Тейлър от втори ред в х=0 за функцията:
f(x)= 1/(1-ln(1+x))

Някой може ли да ми помогне?

[nova]

Никой ли не може да ми каже как да намеря втората производна на функцията? Първата криво-лява я намирам, ама дали е вярна..

[vel.angelov]

Да се намери втората производна е трудоемко,затова ще намерим друг начин.
[tex]f(x)=\frac{1}{1-g(x) }[/tex] ,където [tex]g(x)=ln(1+x)[/tex]
Забелязваме че [tex]g(x) \to^{x \to 0} 0[/tex]
Тогава в сила е представянето:
[tex]f(x)=1+g(x)+g^2(x)+g^3(x)...=1+ln(x+1)+ln^2(x+1)+ln^3(x+1)...[/tex]
Ако някой евентуално се чуди що така-защото от горните разсъждения се заключва че [tex]f(x)[/tex] може да се представи като сума на безкрайна геометрична прогресия с [tex]a_{1}=1[/tex]и [tex]q=g(x)[/tex]
но пък [tex]g'(x)=\frac{1}{1+x } =1-x+x^2-x^3+x^4...[/tex]
Добиваме [tex]g(x)=C+x-\frac{x^2}{ 2} +\frac{x^3}{3 } ...[/tex]
като лесно намираме от [tex]g(0)=0[/tex] че [tex]C=0[/tex] .Тогава
[tex]f(x)=1+x-\frac{x^2}{ 2} +\frac{x^3}{3 } ...+(x-\frac{x^2}{ 2} +\frac{x^3}{3 } ...)^2+(x-\frac{x^2}{ 2} +\frac{x^3}{3 } ...)^3...[/tex]
Сега се сещаме че търсим полином на Тейлър от втори ред:
[tex]f(x)=1+x-\frac{x^2}{ 2} +x^2+\delta =1+x+\frac{x^2}{ 2} +\delta[/tex]