Изследване на функция

[sisrow]

Здравейте, пиша тук курсова работа и си блъскам главата вече с тази функция....

Имаме функцията [tex]y=arccos(\frac{1-x}{1-2x})[/tex] и съответно трябва да ѝ направя пълно изследване.

Намерих, че ДМ е [tex]x\in (+\infty;0]\cup[\frac{2}{3};+\infty)[/tex]. Мисля, но не съм сигурна, че функцията е непрекъсната за [tex]x\in DM[/tex] и дотам...

Как да разбера дали е четна? При положение, че косинус е четна следва ли, че и обратната е, а също има ли значение това, че аргумента е [tex]\frac{1-x}{1-2x}[/tex], а не Х?
Как да разбера дали е периодична?
Асимптотите като ги търся какво се прави с граница на arccos?
Абе общо взето цялата работа покрай обратните тригонометрични ми е пълна мъгла и къде ли не бърниках, какво ли не четох.. доникъде не стигнах в крайна сметка...

Та, ако някой може да ми разясни как стоят нещата, ще съм много благодарна!

[inveidar]

Виж тук: http://rosoft.org/MitakaLectures/Analiz1/MA11sec22.pdf

[ptj]

[tex]\frac{1-x}{1-2x }=1+\frac{x}{1-2x }[/tex]

За да дефинирана функцията [tex]arccos[/tex] е необходимо:

[tex]-1\le\frac{1-x}{1-2x }\le1[/tex], т.е.

[tex]-1\le1+\frac{x}{1-2x }\le1[/tex]

[tex]-2\le\frac{x}{1-2x }\le0[/tex]
Дясното неравенство е еквивалентно на [tex]x\in [0;\frac{1}{2 } )[/tex].
Тогава лявото се трансформира в :
[tex]2(1-2x)\ge x[/tex]
[tex]x\le\frac{2}{5 }[/tex]
Дефиниционното множество е сечението на двата интервала: [tex]x\in[0;\frac{2}{5 }][/tex]

Функцията [tex]arccos[/tex] e непрекъсната (защото е обратна на косинус) за целия интервал [-1;1] . Тогава в частност [tex]y=arccos\frac{1-x}{1-2x }[/tex] също е непрекъсната. Може да използваш също съществуването на [tex]y'[/tex] от където веднага следва, че непрекъсната (има такава теорема).

Функцията [tex]arccos[/tex] не е периодична (опредeлена е еднозначно и приема стойности в [tex][-\frac{\pi }{2 };\frac{\pi }{2 }][/tex]). Четна е, защото нейната обратна функция е [tex]cos[/tex](четна).

[tex]y'=\frac{-(1-2x)-(-2)(1-x)}{(1-2x)^2 }.\frac{-1}{\sqrt{1-(\frac{1-x}{1-2x } )^2} }[/tex]

1.) Опрости си производната и намери екстремумите и инфлексните точки (ако ги има).

2.)Намери [tex]f(0)[/tex] и [tex]f(\frac{2}{ 5} )[/tex].

3.) Направи си таблица

4.) Намери асимтотите (наклонени) в краищата на дефиниционния интервал

5.) Начертай си графика

----------------------------------------
Точка 1 и намирането на производната може да ги избегнеш, ако използваш свойствата на обратните функции. Т.е. да разглеждаш функцията [tex]cos[/tex] (обратна на [tex]y[/tex]) и знаейки нейните свойства (екстремуми, интервали на растене и намаляне и т.н.) да си правиш изводи за [tex]y[/tex].

П.П. За свойствата на обратните може да прочетеш тук:
http://fmi.wikidot.com/anal103#toc8

[stflyfisher]

[tex]-2\le\frac{x}{1-2x }\le0[/tex]
Дясното неравенство е еквивалентно на [tex]x\in [0;\frac{1}{2 } )[/tex].

Аз получавам: [tex]x \in (-\infty;0] \cup (\frac{1}{2}; +\infty )[/tex]

[ptj]

Дефиниционното множество е : [tex](-\infty;0]\cup [\frac{2}{3 };+\infty)[/tex]

Решил съм грешно неравенствата.
[tex]-2\le -\frac{x}{2x-1 }\le 0[/tex]

Решението на дясната част е [tex]x\in \left( (-\infty;0]\cup (\frac{1}{2 };+\infty) \right)[/tex].
Решението на лявата част е [tex]x\in \left( (-\infty;\frac{1}{2 } )\cup [\frac{2}{3 };+\infty) \right)[/tex].

Сечението на двете е [tex]x \in \left((-\infty;0]\cup [\frac{2}{3 };+\infty)\right)[/tex].

[ptj]

Пиша тук отговора на личното съобщение, защото сайта не ми позволява да го изпратя (вероятно си деактивирала личните си съобщения):

Извинявам се за подвеждащото ми мнение относно дефиниционното множество, вече го коригирах.

1-ва:
[tex]f(x)=\frac {x^3+ 2x-3 }{x^2- 4x-5 }=\frac{(x-1)(x^2+x+3)}{(x-5)(x+1) }[/tex]

Понеже точките на прекъсване са [tex]5[/tex] и [tex]-1[/tex]. То асимптотите са:
а.) [tex]x\to -\infty[/tex] (наклонена)
б.) [tex]x\to -1-0[/tex] (вертикална, сметни границата на f(x) и виж коя безкрайност е)
в.) [tex]x\to -1+0[/tex] (вертикална, сметни границата на f(x) и виж коя безкрайност е)
г.) [tex]x\to 5-0[/tex] (вертикална, сметни границата на f(x) и виж коя безкрайност е)
д.) [tex]x\to 5+0[/tex] (вертикална, сметни границата на f(x) и виж коя безкрайност е)
е.)[tex]x\to +\infty[/tex] (наклонена)



В точките на прекъсване винаги са вертикални (ако съществуват), а в безкрайностите наклонени или хоризонтални.

Ето как да ги намериш:
Нека [tex]y = f(x)[/tex] е дефинирана в неограничена област. Правата l = kx + n се нарича асимптота на [tex]f(x)[/tex],ако е изпълнено:
[tex]\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{x }=k[/tex]

[tex]\lim_{x \to a}(f(x)-kx)=n[/tex]

(*) Когато [tex]k\ne 0[/tex] са наклонени.
(**)Когато [tex]k = 0[/tex] са хоризонтални.



T.e. трябва да сметнеш 4 граници за наклонените асимптоти(като заместиш [tex]a[/tex] с двете безкрайности), и още 4 за точките на прекъсване (границите на [tex]f(x)[/tex] ).

П.П. Тук асимптотите в безкрайностите се получават еднакви, но [tex]f(x)[/tex] клони от две различни страни към тях.

П.ПП. В конкретния случай границите при вертикалните асипмтоти се безкрайности, защото двата множителя (изразите в скобите) в числителя клонят към конкретни числа, а единия в знаменателя клони към [tex]0[/tex], докато другия отново към число.
По принцип вертикални асимптоти има в точки на прекъсване, за които някой знаменател във функцията приема стойност [tex]0[/tex], докато при друг вид може и да не съществуват асимптоти (пример - точка на прекъсване за квадратен корен). В Математическия анализ условно едните се наричат "от 1-ви род", докато другите "от 2-ри род".